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（本小題滿分分）在平面直角坐標系中，已知兩個定點和．動點在軸上的射影是（隨移動而移動），若對于每個動點M總存在相應的點滿足，且．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設過定點的直線（直線與軸不重合）交曲線于，兩點，求證：直線與直線交點總在某直線上．

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設橢圓過點，且著焦點為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

C

A

C

D

D

C

B

A

B

二、填空題

11. ；        12. （或）;       13.  15;          14. 6;      

15.              16. ；                     17.

三、解答題

                                 …………12′

  故函數(shù)的取值范圍是…………12′      

19. 解：(1)設袋中原有n個白球,由題意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4個白球;                          …………4′

(2)由題意,的可能取值為1，2，3，4

所以，取球次數(shù)的分布列為：

1

2

3

4

P

                                                             …………9′  

(Ⅲ)因為甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，

則或 “=3”）,所以  …………14′ 

20. 解：⑴由條件得：  ∴     ∵ ∴ ∴為等比數(shù)列∴                                 …………4′

 ⑵由   得           

     又   ∴                                 …………9′  ⑶∵

（或由即），∴為遞增數(shù)列.                            

∴從而      

∴

                                         …………14′

21.解：（1）依題意有，由顯然，得，化簡得；                                                    …………5′

（2）證明：（?）

                                            …………10′

（?）設點A、B的坐標分別為，不妨設點A在點P與點B之間，點，依（?）有*，又可設過點P（2,4）的直線方程為，得，

，代入上*式得

，又，得

 ，當直線AB的斜率不存在時，也滿足上式.即點Q總過直線，得證.                                                               …………15′

22. 解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．                              …………4′

令，則．于是當，即時，；

當，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．                    …………8′

（Ⅱ）設

則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當時，有，即當時，．       …………15′