在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C，直線l：y=kx+

2

與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使以線段PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線x-2y=0對(duì)稱，若存在，求a的值，若不存在，說(shuō)明理由．

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）；以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0？
若存在．求出直線l斜率的取值范圍；
（3）對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0，試求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足．
（1）求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)Q（一2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說(shuō)明理由．