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（本小題滿分14分）已知四棱錐P—ABCD的三視圖如右圖所示，
其中正（主）視圖與側（左）視為直角三角形，俯視圖為正方形。
  （1）求四棱錐P—ABCD的體積；
  （2）若E是側棱上的動點。問：不論點E在PA的
任何位置上，是否都有？
請證明你的結論？
（3）求二面角D—PA—B的余弦值。

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

解答

D

D

A

B

D

C

C

B

D

D

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分

11．   負                                        12．　　　　　　　    　

13．    7                                        14．                     　      

15．   4010                                    16．                         

17．若他不放棄這5道題，則這5道題得分的期望為：                                                                           

三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

18．解：（Ⅰ）①，②，③，④處的數值分別為：3，0.025，0.100，１．…………4分

（Ⅱ）

            …………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）（?）120分及以上的學生數為：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;

（?）平均分為:

（?）成績落在［126，150］中的概率為:

…………………………………………………………………………14分

19．解：(Ⅰ) 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側棱底面，且.                           

∴，

即四棱錐的體積為.             ………………………………4分

(Ⅱ) 不論點在何位置，都有.                            

證明如下：連結，∵是正方形，∴.          

∵底面，且平面，∴.        

又∵，∴平面.                        

∵不論點在何位置，都有平面. 

∴不論點在何位置，都有.        ………………………………8分

(Ⅲ) 解法1：在平面內過點作于，連結.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴.

∴為二面角的平面角.                           

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，             

∴，即二面角的大小為.  …………………14分

解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角

坐標系. 則，從而

，，，.

設平面和平面的法向量分別為

，，

由，取.   

由，取. 

設二面角的平面角為，

則，       

  ∴，即二面角的大小為.    …………………14分

20．解：（Ⅰ）令①

令�、�

由①、②知，，又是上的單調函數，

．　　　　　………………………………………………………………………4分

（Ⅱ），

．

，

     …………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令，則

         ……………………12分

對都成立

        …………………………………………………………………………………15分

21．解：（Ⅰ）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0).

則有.

兩式作差有

.

設直線BC的斜率為,則有

.  (1)

因F₂(2,0)為三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得.

直線BC的方程為.      …………………………………………7分

 (Ⅱ)由AB⊥AC,得  （2）

設直線BC方程為，得

，

代入（2）式得,，

解得或

故直線過定點（0，．        …………………………………………14分

22．解：（Ⅰ）

.

當時，

．從而有．…………………5分

（Ⅱ）設P，切線的傾斜角分別為，斜率分別為．則

．

由切線與軸圍成一個等腰三角形，且均為正數知，該三角形為鈍角三角形，

　或   ．又

．從而，．

…………………………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令

；

．

．

又．

．

當時，即時，曲線與曲線無公共點，故方程無實數根；

當時，即時，曲線與曲線有且僅有1個公共點，故方程有且僅有1個實數根；

當時，即時，曲線與曲線有2個交點，故方程有2個實數根．         …………………………………………………………………15分