題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)已知四棱錐P—ABCD的三視圖如右圖所示,
其中正(主)視圖與側(cè)(左)視為直角三角形,俯視圖為正方形。 (1)求四棱錐P—ABCD的體積;
(2)若E是側(cè)棱
上的動(dòng)點(diǎn)。問:不論點(diǎn)E在PA的
任何位置上,是否都有?
請(qǐng)證明你的結(jié)論?
(3)求二面角D—PA—B的余弦值。
(本小題滿分14分)
已知一個(gè)四棱錐P-ABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)。
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(3)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大�。�
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
D
D
A
B
D
C
C
B
D
D
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分
11. 負(fù)
12.
13. 7 14.
15. 4010
16.
17.若他不放棄這5道題,則這5道題得分的期望為:
三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18.解:(Ⅰ)①,②,③,④處的數(shù)值分別為:3,0.025,0.100,1.…………4分
(Ⅱ)
…………………………………………………………………………8分
(Ⅲ)(?)120分及以上的學(xué)生數(shù)為:(0.275+0.100+0.050)×5000=2125;
(?)平均分為:
(?)成績落在[126,150]中的概率為:
…………………………………………………………………………14分
19.解:(Ⅰ) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱底面
,且
.
∴,
即四棱錐的體積為
.
………………………………4分
(Ⅱ) 不論點(diǎn)在何位置,都有
.
證明如下:連結(jié),∵
是正方形,∴
.
∵底面
,且
平面
,∴
.
又∵,∴
平面
.
∵不論點(diǎn)在何位置,都有
平面
.
∴不論點(diǎn)在何位置,都有
. ………………………………8分
(Ⅲ) 解法1:在平面內(nèi)過點(diǎn)
作
于
,連結(jié)
.
∵
,
,
,
∴Rt△≌Rt△
,
從而△≌△
,∴
.
∴為二面角
的平面角.
在Rt△中,
,
又,在△
中,由余弦定理得
,
∴,即二面角
的大小為
. …………………14分
解法2:如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),
所在的直線分別為
軸建立空間直角
坐標(biāo)系. 則,從而
,
,
,
.
設(shè)平面
和平面
的法向量分別為
,
,
由,取
.
由,取
.
設(shè)二面角的平面角為
,
則,
∴,即二面角
的大小為
. …………………14分
20.解:(Ⅰ)令①
令�、�
由①、②知,,又
是
上的單調(diào)函數(shù),
. ………………………………………………………………………4分
(Ⅱ),
.
,
…………………………………………………………………10分
(Ⅲ)令,則
……………………12分
對(duì)
都成立
…………………………………………………………………………………15分
21.解:(Ⅰ)設(shè)B(,
),C(
,
),BC中點(diǎn)為(
),F(2,0).
則有.
兩式作差有
.
設(shè)直線BC的斜率為,則有
. (1)
因F2(2,0)為三角形重心,所以由,得
由得
,
代入(1)得.
直線BC的方程為.
…………………………………………7分
(Ⅱ)由AB⊥AC,得 (2)
設(shè)直線BC方程為,得
,
代入(2)式得,,
解得或
故直線過定點(diǎn)(0,
. …………………………………………14分
22.解:(Ⅰ)
.
當(dāng)時(shí),
.從而有
.…………………5分
(Ⅱ)設(shè)P,切線
的傾斜角分別為
,斜率分別為
.則
.
由切線與
軸圍成一個(gè)等腰三角形,且
均為正數(shù)知,該三角形為鈍角三角形,
或
.又
.從而,
.
…………………………………………………………………………………10分
(Ⅲ)令
;
.
.
又.
.
當(dāng)時(shí),即
時(shí),曲線
與曲線
無公共點(diǎn),故方程
無實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí),即
時(shí),曲線
與曲線
有且僅有1個(gè)公共點(diǎn),故方程
有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí),即
時(shí),曲線
與曲線
有2個(gè)交點(diǎn),故方程
有2個(gè)實(shí)數(shù)根.
…………………………………………………………………15分
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