故當(dāng)=8,時,. ------10分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知等比數(shù)列中,,且,公比,(1)求;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和

【解析】第一問,因為由題設(shè)可知

 故

,又由題設(shè)    從而

第二問中,

當(dāng)時,,

時, 

時,

分別討論得到結(jié)論。

由題設(shè)可知

 故

,又由題設(shè)   

從而……………………4分

(2)

當(dāng)時,,……………………6分

時,……8分

時,

 ……………………10分

綜上可得 

 

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設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時,若,

求證:

(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為,

設(shè)分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以,

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為

設(shè)分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;,

.

,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補充條件1:“點的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時,若,且點的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當(dāng)時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于,

當(dāng)時,;當(dāng)時,;

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時,,成立.

假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,

當(dāng)時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調(diào)性證明.

要證 

只要證  ,  

設(shè)數(shù)列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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已知點),過點作拋物線的切線,切點分別為、(其中).

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;

(Ⅲ)若直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切,

求圓面積的最小值.

【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關(guān)系的運用。

中∵直線與曲線相切,且過點,∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。

(3)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值

(Ⅰ)由可得,.  ------1分

∵直線與曲線相切,且過點,∴,即

,或, --------------------3分

同理可得:,或----------------4分

,∴,. -----------------5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率

∴直線的方程為:,又,

,即. -----------------7分

∵點到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分

故圓的面積為. --------------------9分

(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,    ………10分

,

當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號.

故圓面積的最小值

 

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