題目列表(包括答案和解析)
已知等比數(shù)列中,,且,公比,(1)求;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和
【解析】第一問,因為由題設(shè)可知
又 故
或,又由題設(shè) 從而
第二問中,
當(dāng)時,,時
故時,
時,
分別討論得到結(jié)論。
由題設(shè)可知
又 故
或,又由題設(shè)
從而……………………4分
(2)
當(dāng)時,,時……………………6分
故時,……8分
時,
……………………10分
綜上可得
設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().
(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時,若,
求證:;
(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因為,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因為上述表達式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標(biāo)()滿足 ”,即:
“當(dāng)時,若,且點的縱坐標(biāo)()滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:
“當(dāng)時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時,,成立.
假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,
當(dāng)時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
已知點(),過點作拋物線的切線,切點分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關(guān)系的運用。
中∵直線與曲線相切,且過點,∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點,∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號.
故圓面積的最小值.
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