已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　　①

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

設(shè)x₁和x₂是方程x²+(t-3)x+(t²-24)＝0的兩個(gè)實(shí)根,定義函數(shù)f(t)=log_m(x₁²+x₂²)(m＞1)，求函數(shù)y=f(t)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥：要想求函數(shù)y=f(t)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)y=f(t)的解析式及定義域.如果在整個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)不是單調(diào)的，那就要把定義域分成幾個(gè)函數(shù)具有單調(diào)性的區(qū)間段，從而確定單調(diào)區(qū)間.

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)1＜m≤e，H（x）=g（x+

1

2

）+mlnx-（m+1）x+

9

8

，求證：H（x）在[1，m]上為減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，證明：對(duì)任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

A、1個(gè)

B、2個(gè)

C、3個(gè)

D、4個(gè)

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥

3

-1，則對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8．