進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).約定滿二進一,就是二進制;滿十進一,就是十進制,等等.即“滿幾進一”就是幾進制,幾進制的基數(shù)就是幾.因此k進制需要使用k個數(shù)字.

若a_na_n-1…a₁a₀(k)表示一個k進制數(shù),寫成各位上數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式為a_na_n-1…a₁a₀(k)=a_n×kⁿ+a_n-1×k^n-1+…+a₂×k²+a₁×k+a₀.

因此,只要計算出上式等號右邊的值,就得到了相應(yīng)的十進制數(shù).請運用你學(xué)過的算法知識來寫出這個問題的解決辦法.

對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：

，當(dāng)且僅當(dāng)時成立

運算“”為：，

運算“”為： 。

現(xiàn)設(shè)，若，則=        。

若是正常數(shù)，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時上式

取等號. 利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)（）的最小值為   ．

 

我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)，對任意均滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

（1）若定義在(0，＋∞)上的函數(shù)∈M，試比較與大小.

（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝－x²，求證：g(x)∈M.

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　　①

令則

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.