故. ----------- 14分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在北京奧運(yùn)會(huì)期間,4位志愿者計(jì)劃在長(zhǎng)城、故宮、天壇和天安門等4個(gè)景點(diǎn)服務(wù),已知每位志愿者在每個(gè)景點(diǎn)服務(wù)的概率都是
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,且他們之間不存在相互影響.
(1)求恰有3位志愿者在長(zhǎng)城服務(wù)的概率;
(2)設(shè)在故宮服務(wù)的志愿者人數(shù)為X,求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

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已知函數(shù) R).

(Ⅰ)若 ,求曲線  在點(diǎn)  處的的切線方程;

(Ⅱ)若  對(duì)任意  恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),

因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,                 

所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:

第二問(wèn)中,由題意得,即可。

Ⅰ)當(dāng)時(shí),

,                                  

因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,                  

所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:.    ……5分

(Ⅱ)解法一:由題意得,.      ……9分

(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)

,           

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,

上單調(diào)遞增,                            ……12分

要使恒成立,則,解得.……15分

解法二:                 ……7分

      (1)當(dāng)時(shí),上恒成立,

上單調(diào)遞增,

.                  ……10分

(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱軸

上單調(diào)遞增,又    

① 當(dāng),即時(shí),上恒成立,

所以單調(diào)遞增,

,不合題意,舍去  

②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分

綜上所述: 

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,

由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價(jià)于

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對(duì)任意恒成立.

方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時(shí),,成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,

當(dāng)時(shí),, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分

方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.

要證 

只要證  ,  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,        …………10分

,    …………12分

所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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為了解高中一年級(jí)學(xué)生身高情況,某校按10%的比例對(duì)全校700名高中一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查,測(cè)得身高頻數(shù)分布表如下表1、表2.

表1:男生身高頻數(shù)分布表

 

身高(cm)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

[180,185)

[185,190)

頻數(shù)

2

5

14

13

4

2

 

表2:女生身高頻數(shù)分布表

 

身高(cm)

[150,155)

[155,160)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

頻數(shù)

1

7

12

6

3

1

 

(I)求該校男生的人數(shù)并完成下面頻率分布直方圖;

(II)估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率;

(III)從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人,求至少有1人身高在185190cm之間的概率。

【解析】第一問(wèn)樣本中男生人數(shù)為40 ,

由分層抽樣比例為10%可得全校男生人數(shù)為400

(2)中由表1、表2知,樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為:5+14+13+6+3+1=42,樣本容量為70 ,所以樣本中學(xué)生身高在的頻率 

故由估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率 

(3)中樣本中身高在180185cm之間的男生有4人,設(shè)其編號(hào)為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人,設(shè)其編號(hào)為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹(shù)狀圖,故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此,所求概率

由表1、表2知,樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為:5+14+13+6+3+1=42,樣本容量為70 ,所以樣本中學(xué)生身高在

的頻率-----------------------------------------6分

故由估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率.--------------------8分

(3)樣本中身高在180185cm之間的男生有4人,設(shè)其編號(hào)為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人,設(shè)其編號(hào)為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹(shù)狀圖為:

--10分

故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此,所求概率

 

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