設(shè)中點(diǎn)為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)...方向 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,已知四棱錐的底面ABCD為正方形,平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點(diǎn),,

(1)求證:平面

(2)求二面角的大。

【解析】第一問(wèn)利用線面垂直的判定定理和建立空間直角坐標(biāo)系得到法向量來(lái)表示二面角的。

第二問(wèn)中,以A為原點(diǎn),如圖所示建立直角坐標(biāo)系

,,

設(shè)平面FAE法向量為,則

,

 

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如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱

。ǎ保┣笕忮F的體積;

。ǎ玻┣笾本與平面所成角的正弦值;

。ǎ常┤衾上存在一點(diǎn),使得,當(dāng)二面角的大小為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.

【解析】(1)在中,

.                 (3’)

(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

       (4’)

,設(shè)平面的法向量為,

,                                             (5’)

,

.  (7’)

(3)

設(shè)平面的法向量為,由,      (10’)

 

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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