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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知函數(shù)。

(1)證明:

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足:,設(shè),

若(2)中的滿(mǎn)足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿(mǎn)分14分)已知,點(diǎn)軸上,點(diǎn)軸的正半軸,點(diǎn)在直線(xiàn)上,且滿(mǎn)足. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

(Ⅱ)過(guò)的直線(xiàn)與軌跡交于、兩點(diǎn),又過(guò)作軌跡的切線(xiàn)、,當(dāng),求直線(xiàn)的方程.

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(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù)

 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

 (2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿(mǎn)分14分)

已知,其中是自然常數(shù),

(1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,

(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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(本小題滿(mǎn)分14分)

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;

(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.; 10.(-1,2); 11.0;  12.(或);

13.(1);(2)16;(3).

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

14.(本小題滿(mǎn)分12分)

解:(Ⅰ)∵

當(dāng)時(shí),其圖象如右圖所示.---4分

(Ⅱ)函數(shù)的最小正周期是,其單調(diào)遞增區(qū)間是;由圖象可以看出,當(dāng)時(shí),該函數(shù)的最大值是.--------------7分

(Ⅲ)若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,則有,∴

,得

 ∴,故△ABC為直角三角形. --------------12分

15.(本小題滿(mǎn)分12分)

解:(Ⅰ)

       --------6分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),

 ----------12分

 

16.(本小題滿(mǎn)分14分)

解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的

正方形,高為CC1=6,故所求體積是

       ------------------------4分

 (Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,

故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體,

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形,于是

  故所拼圖形成立.---8分

(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,

 連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,

連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中,,則

,

,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二:以C為原點(diǎn),CD、CB、CC1所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3),∵正方體棱長(zhǎng)為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

 設(shè)向量n=(x,y,z),滿(mǎn)足n⊥,n⊥,

于是,解得.       --------------------12分

  取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17.(本小題滿(mǎn)分14分)

解:分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線(xiàn)為事件A、B、C,被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線(xiàn)和僅上第2批分?jǐn)?shù)線(xiàn)兩種情況,故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)設(shè)該考生所報(bào)志愿均未錄取的概率為,則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

      表 二

      批次

      a

      b

      第2批

      0.9

      0.05

      第3批

      0.048

      0.0020

      從表中可以看出,該考生被第2批a志愿錄取的概率最大,故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

       

      18.(本小題滿(mǎn)分14分)

      解:(Ⅰ)∵,當(dāng)時(shí),.

           ∴在[1,3]上是增函數(shù).---------------------------------3分

           ∴當(dāng)時(shí),,即 -2≤≤26.

            ∴存在常數(shù)M=26,使得,都有≤M成立.

             故函數(shù)是[1,3]上的有界函數(shù).---------------------------6分

      (Ⅱ)∵. 由≤1,得≤1

         ∴ 

             令,則.

            當(dāng)時(shí),有,

      在[0,+∞上單調(diào)遞減.   -------------------------------10分

      故當(dāng)t=0 時(shí),有;

      ,當(dāng)t→+∞時(shí),→0,

      ,從而有≤0,且.  ∴0≤a≤1;                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

       

      19.(本小題滿(mǎn)分14分)

      解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:

       又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為:.

      設(shè)雙曲線(xiàn)M的方程為,依題意有

      ,又.

      ∴雙曲線(xiàn)M的方程為. ------------------------4分

      (Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

      聯(lián)立方程組 消去y得  ,

      、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根, ∴

      ,從而有

      ,.

      ,

      .

      ① 若,則有 ,即 .

      ∴當(dāng)時(shí),使得. -----------------------------8分

      ② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則必有 ,

      因此,當(dāng)m=0時(shí),不存在滿(mǎn)足條件的k;------------------------------------10分

      當(dāng)時(shí),由

        

      ∵A、B中點(diǎn)在直線(xiàn)上,

      代入上式得

      ;又, ∴

      代入并注意到,得 .

      ∴當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).--14分

      如上各題若有其它解法,請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分.

       

       

       

       


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