8(Ⅱ)求該考生能被錄取的概率,(Ⅲ)如果已知該考生高考成績已達(dá)到第2闁炽儻鑵归埀顒婃嫹【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

高校招生是根據(jù)考生所填報的志愿，從考試成績所達(dá)到的最高第一志愿開始，按順序分批錄取，若前一志愿不能錄取，則依次給下一個志愿（同批或下一批）錄取.某考生填報了三批共6個不同志愿（每批2個），并對各志愿的單獨(dú)錄取以及能考上各批分?jǐn)?shù)線的概率進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如“表一”所示（表中的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的概率，a、b分別為第一、第二志愿）.

表一

批次

高考上線

a

b

第1批

0.6

0.8

0.4

第2批

0.8

0.9

0.5

第3批

0.9

0.95

0.8

（Ⅰ）求該考生能被第2批b志愿錄取的概率；

（Ⅱ）求該考生能被錄取的概率；

（Ⅲ）如果已知該考生高考成績已達(dá)到第2批分?jǐn)?shù)線卻未能達(dá)到第1批分?jǐn)?shù)線，請計算其最有可能在哪個志愿被錄��？（以上結(jié)果均保留二個有效數(shù)字）

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一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會．已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄�。�
①2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊考試通過（集訓(xùn)隊從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊則能被該大學(xué)提前錄�。�
②2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；
③2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）．
該名考生競賽獲省一等獎．自主招生考試通過．高考達(dá)重點(diǎn)線．高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：
事件 省數(shù)學(xué)競獲一等獎 自主招生考試通過 高考達(dá)重點(diǎn)線 高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線
概率 0.5 0.7 0.8 0.6
如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，該學(xué)生估計自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.4．
（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率．
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（本小題滿分12分）一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會。已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄�。�

① 2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊考試通過（集訓(xùn)隊從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊則能被該大學(xué)提前錄�。�；

② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；

③ 2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）。

該名考生競賽獲省一等獎、自主招生考試通過、高考達(dá)重點(diǎn)線、高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：

事件

省數(shù)學(xué)競獲一等獎

自主招生考試通過

高考達(dá)重點(diǎn)線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

概率

0.5

0.7

0.8

0.6

如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，該學(xué)生估計自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.4。

（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；

（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率。

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（本小題滿分12分）一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會。已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄�。�

① 2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊考試通過（集訓(xùn)隊從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊則能被該大學(xué)提前錄�。�；

② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；

③ 2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）。

該名考生競賽獲省一等獎、自主招生考試通過、高考達(dá)重點(diǎn)線、高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：

事件

省數(shù)學(xué)競獲一等獎

自主招生考試通過

高考達(dá)重點(diǎn)線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

概率

0.5

0.7

0.8

0.6

如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，該學(xué)生估計自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.4。

（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；

（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率。

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

14.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵

當(dāng)時，其圖象如右圖所示.---4分

（Ⅱ）函數(shù)的最小正周期是，其單調(diào)遞增區(qū)間是；由圖象可以看出，當(dāng)時，該函數(shù)的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一個內(nèi)角，則有，∴

由，得

∴  ∴ ，，故△ABC為直角三角形. --------------12分

15．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

       --------6分

（Ⅱ）當(dāng)時，

 ----------12分

 

16．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形，高為CC1=6，故所求體積是

       ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點(diǎn)G，

 連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，

連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二：以C為原點(diǎn)，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

 設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17．（本小題滿分14分）

解：分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線為事件A、B、C，被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線和僅上第2批分?jǐn)?shù)線兩種情況，故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）設(shè)該考生所報志愿均未錄取的概率為，則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

    
 
    
  
  
    <label id="kfzu2"></label>
    
   
    
    
    
    
    
    表 二
    批次
    a
    b
    第2批
    0.9
    0.05
    第3批
    0.048
    0.0020
    從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分
     
    18．（本小題滿分14分）
    解：（Ⅰ）∵，當(dāng)時，.
         ∴在[1，3]上是增函數(shù).---------------------------------3分
         ∴當(dāng)時，≤≤，即 -2≤≤26.
          ∴存在常數(shù)M=26，使得，都有≤M成立.
           故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù).---------------------------6分
    （Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1
       ∴  
           令，則.
          當(dāng)時，有，
    ∴在[0，+∞上單調(diào)遞減.  
-------------------------------10分
    故當(dāng)t=0 時，有；
    又，當(dāng)t→+∞時，→0，
    ∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                              
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
     
    19．（本小題滿分14分）
    解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
     又拋物線的準(zhǔn)線為：. 
    設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，
    故，又.
    ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分
    （Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)
    聯(lián)立方程組 消去y得 
，
    ∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個不同實(shí)根，
∴
    ∴，從而有
    ，.
    又，
    ∴.
    ① 若，則有 ，即 .
    ∴當(dāng)時，使得. -----------------------------8分
    ② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則必有 ，
    因此，當(dāng)m=0時，不存在滿足條件的k；------------------------------------10分
    當(dāng)時，由 得 
      
    ∵A、B中點(diǎn)在直線上，
    ∴ 代入上式得
    ；又， ∴
    將代入并注意到，得 .
    ∴當(dāng)時，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱.--14分
    如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分.
     
     
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊答案
    


    


    

    
    
    
    
    






















    			
    

    
	







    

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