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題目列表(包括答案和解析)

α=
π
6
”是“cos2α=
1
2
”的( 。
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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17、6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上,問(wèn)
(1)空位不相鄰的坐法有多少種?
(2)4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種?
(3)4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種?

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6名志愿者隨機(jī)進(jìn)入2個(gè)不同的全運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作,則每個(gè)場(chǎng)館至少有兩名志愿者的概率為( 。
A、
1
3
B、
1
12
C、
3
4
D、
25
32

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4、6人排成一排,則甲不站在排頭的排法有
600
種.(用數(shù)字作答).

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7、6、如果三棱錐S-ABC的底面是不等邊三角形,側(cè)面與底面所成的二面角都相等,且頂點(diǎn)S在底面的射影O在△ABC內(nèi),那么O是△ABC的(  )

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.; 10.(-1,2); 11.0;  12.(或);

13.(1);(2)16;(3).

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

14.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)∵

當(dāng)時(shí),其圖象如右圖所示.---4分

(Ⅱ)函數(shù)的最小正周期是,其單調(diào)遞增區(qū)間是;由圖象可以看出,當(dāng)時(shí),該函數(shù)的最大值是.--------------7分

(Ⅲ)若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,則有,∴

,得

 ∴ ,,故△ABC為直角三角形. --------------12分

15.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)

       --------6分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),

 ----------12分

 

16.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的

正方形,高為CC1=6,故所求體積是

       ------------------------4分

 (Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,

故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體,

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形,于是

  故所拼圖形成立.---8分

(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,

 連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,

連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中,,則

,,

,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二:以C為原點(diǎn),CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3),∵正方體棱長(zhǎng)為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

 設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥,

于是,解得.       --------------------12分

  取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17.(本小題滿分14分)

解:分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線為事件A、B、C,被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線和僅上第2批分?jǐn)?shù)線兩種情況,故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)設(shè)該考生所報(bào)志愿均未錄取的概率為,則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

          • 表 二

            批次

            a

            b

            第2批

            0.9

            0.05

            第3批

            0.048

            0.0020

            從表中可以看出,該考生被第2批a志愿錄取的概率最大,故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

             

            18.(本小題滿分14分)

            解:(Ⅰ)∵,當(dāng)時(shí),.

                 ∴在[1,3]上是增函數(shù).---------------------------------3分

                 ∴當(dāng)時(shí),,即 -2≤≤26.

                  ∴存在常數(shù)M=26,使得,都有≤M成立.

                   故函數(shù)是[1,3]上的有界函數(shù).---------------------------6分

            (Ⅱ)∵. 由≤1,得≤1

               ∴ 

                   令,則.

                  當(dāng)時(shí),有

            在[0,+∞上單調(diào)遞減.   -------------------------------10分

            故當(dāng)t=0 時(shí),有

            ,當(dāng)t→+∞時(shí),→0,

            ,從而有≤0,且.  ∴0≤a≤1;                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

             

            19.(本小題滿分14分)

            解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,

             又拋物線的準(zhǔn)線為:.

            設(shè)雙曲線M的方程為,依題意有,

            ,又.

            ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分

            (Ⅱ)設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

            聯(lián)立方程組 消去y得 

            、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根, ∴

            ,從而有

            ,.

            ,

            .

            ① 若,則有 ,即 .

            ∴當(dāng)時(shí),使得. -----------------------------8分

            ② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則必有 ,

            因此,當(dāng)m=0時(shí),不存在滿足條件的k;------------------------------------10分

            當(dāng)時(shí),由

              

            ∵A、B中點(diǎn)在直線上,

            代入上式得

            ;又, ∴

            代入并注意到,得 .

            ∴當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.--14分

            如上各題若有其它解法,請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分.

             

             

             

             


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