則C（0，0，0），C₁（0，0，2），

       A（1，0，0），B₁（0，1，2），A₁（1，0，2）

       ∵M為A₁B₁中點(diǎn)，

       …………………………4分

   （1）

       ……………………6分

       ∥面AC₁M，又∵B₁C面AC₁M，

       ∴B₁C∥面AC₁M.…………………………8分

   （2）設(shè)平面AC₁M的一個(gè)法向量為

       …………………………………………………………10分

       則…………………………12分

20．解：（1）………………2分

       的等差中項(xiàng)，

       解得q=2或（舍去），………………………………………………4分

       ………………5分

   （2）由（1）得，

       當(dāng)n=1時(shí)，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

       當(dāng)n=2時(shí)，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

       當(dāng)n=3時(shí)，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

       當(dāng)n=4時(shí)，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

       由上可猜想，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，A_n<B_n；當(dāng)n≥4時(shí)，A_n>B_n.……………………8分

       下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

       ①當(dāng)n=4時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立.

       ②假設(shè)n=k（k≥4）時(shí)，A_k>B_k.成立，即,

       即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，

       由①②知，當(dāng)

       綜上，當(dāng)時(shí)，A_n<B_n；當(dāng)

21．解：（1）設(shè).

       由題意得……………………2分

       ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項(xiàng)點(diǎn)），其

中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2.………………………………………………4分

   （2）當(dāng)m=時(shí)，曲線C的方程為

       由………………6分

       令

       此時(shí)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).………………………………8分

   （3）直線l方程為2x－y+3=0.

       設(shè)點(diǎn)表示P到點(diǎn)（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，

       則

       …………………………10分

       令

       則

       令……………………………………………………12分

       ∴的最小值等于橢圓的離心率.……………………………………14分

22．（1）由已知

       ，

       …………………………………………………………2分

       又當(dāng)a=8時(shí)，

       上單調(diào)遞減.……………………………………………………4分

   （2）

       ……………………6分

………………………………………………8分

   （3）設(shè)

       且

       由（1）知

       ∴△ABC為鈍角三角形,且∠B為鈍角.…………………………………………11分

       若△ABC為等腰三角形，則|AB|=|BC|，

       此與（2）矛盾，

       ∴△ABC不可能為等腰三角形.………………………………………………14分