則C（0，0，0），C₁（0，0，2），

       A（1，0，0），B₁（0，1，2），A₁（1，0，2）

       ∵M為A₁B₁中點，

       …………………………4分

   （1）

       ……………………6分

       ∥面AC₁M，又∵B₁C面AC₁M，

       ∴B₁C∥面AC₁M.…………………………8分

   （2）設平面AC₁M的一個法向量為

       …………………………………………………………10分

       則…………………………12分

20．解：（1）………………2分

       的等差中項，

       解得q=2或（舍去），………………………………………………4分

       ………………5分

   （2）由（1）得，

       當n=1時，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

       當n=2時，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

       當n=3時，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

       當n=4時，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

       由上可猜想，當1≤n≤3時，A_n<B_n；當n≥4時，A_n>B_n.……………………8分

       下面用數(shù)學歸納法給出證明：

       ①當n=4時，已驗證不等式成立.

       ②假設n=k（k≥4）時，A_k>B_k.成立，即,

       即當n=k+1時不等式也成立，

       由①②知，當

       綜上，當時，A_n<B_n；當

21．解：（1）設.

       由題意得……………………2分

       ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項點），其

中長軸長為2，短軸長為2.………………………………………………4分

   （2）當m=時，曲線C的方程為

       由………………6分

       令

       此時直線l與曲線C有且只有一個公共點.………………………………8分

   （3）直線l方程為2x－y+3=0.

       設點表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，

       則

       …………………………10分

       令

       則

       令……………………………………………………12分

       ∴的最小值等于橢圓的離心率.……………………………………14分

22．（1）由已知

       ，

       …………………………………………………………2分

       又當a=8時，

       上單調(diào)遞減.……………………………………………………4分

   （2）

       ……………………6分

………………………………………………8分

   （3）設

       且

       由（1）知

       ∴△ABC為鈍角三角形,且∠B為鈍角.…………………………………………11分

       若△ABC為等腰三角形，則|AB|=|BC|，

       此與（2）矛盾，

       ∴△ABC不可能為等腰三角形.………………………………………………14分