求證: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列滿足且對(duì)一切,

(Ⅰ)求證:對(duì)一切

(Ⅱ)求數(shù)列通項(xiàng)公式.   

(Ⅲ)求證:

【解析】第一問利用,已知表達(dá)式,可以得到,然后得到,從而求證 。

第二問,可得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

第三問中,利用放縮法的思想,我們可以得到

然后利用累加法思想求證得到證明。

解:  (1) 證明:

 

 

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ) 設(shè) (N*).

①證明:

② 求證:.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,

所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由.  ……2分

若存在,

從而有,與矛盾,所以.

從而由.  ……6分

 (Ⅱ)①證明:

證法一:∵

 

.…………10分

證法二:,下同證法一.           ……10分

證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,

.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                    ………10分

證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

   ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

   則當(dāng)時(shí),

    即

故當(dāng)時(shí),命題成立.

綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

②由于,

所以

從而.

也即

 

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(本小題滿分14分,每小題7分)

(Ⅰ)設(shè)函數(shù),如果,,求的取值范圍.

(Ⅱ)用放縮法證明不等式:

 

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(本小題滿分14分,每小題7分)
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),如果,求的取值范圍.
(Ⅱ)用放縮法證明不等式:

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已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足:

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和;

(3)證明:不等式  對(duì)任意的,都成立.

【解析】第一問中,由于所以

兩式作差,然后得到

從而得到結(jié)論

第二問中,利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。

第三問中,

       

結(jié)合放縮法得到。

解:(1)∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項(xiàng)數(shù)列,∴           ∴ 

又n=1時(shí),

   ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列……………3分

                             …………………4分

                   …………………5分 

(2)       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

(3)

      …………………12分

        ,

   ∴不等式  對(duì)任意的,都成立.

 

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