題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分15分)已知橢圓:的右頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設點在拋物線:上,在點處的切線與交于點.當線段的中點與的中點的橫坐標相等時,求的最小值.
(本題滿分15分)已知函數(shù) 且導數(shù).
(Ⅰ)試用含有的式子表示,并求單調(diào)區(qū)間; (II)對于函數(shù)圖象上的不同兩點,如果在函數(shù)圖象上存在點(其中)使得點處的切線,則稱存在“伴侶切線”.特別地,當時,又稱存在“中值伴侶切線”.試問:在函數(shù)上是否存在兩點、使得它存在“中值伴侶切線”,若存在,求出、的坐標,若不存在,說明理由.
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設的夾角為
的取值范圍; (III)設以點N(0,m)為圓心,以為
半徑的圓與曲線E在第一象限的交點H,若圓在點H處的
切線與曲線E在點H處的切線互相垂直,求實數(shù)m的值。
18. (本題滿分15分) 如圖,某小區(qū)準備綠化一塊直徑為的半圓形空地,外的地方種草,的內(nèi)接正方形為一水池,其余地方種花.若 ,設的面積為,正方形的面積為,將比值稱為“規(guī)劃合理度”.
(1)試用表示和.(2)當變化時,求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角的大小.
(本題滿分15分)本題共有2個小題,第1個題滿分5分,第2小題滿分10分.
已知函數(shù)f(x)=sin2x,g(x)=cos,直線
與函數(shù)的圖象分別交于M、N兩點.
(1)當時,求|MN|的值;
(2)求|MN|在時的最大值.
1、 2、充分不必要;3、;4、73;5、8;6、5049;
7、1;8、;9、;10、;11、圓內(nèi);12、;
13、;14、
15、解:(Ⅰ)設區(qū)域A中任意一點P為事件M.?????????????????????????????????????? 1分
因為區(qū)域A的面積為,區(qū)域B在區(qū)域A的面積為,????????????????????? 5分
故.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
(Ⅱ)設點P在集合B為事件N,????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點P的個數(shù)為36個,其中在區(qū)域B中的點P有21個. 12分
故.
16、解:(1)因為邊所在直線的方程為,且與垂直,所以直線的斜率為.………………………………………3分
又因為點在直線上,所以邊所在直線的方程為即. ………………………………………7分
(2)由解得點的坐標為,因為矩形兩條對角線的交點為.所以為矩形外接圓的圓心.又.從而矩形外接圓的方程為.…………………………………14分
17、證明:(Ⅰ)在中,
∵,,,∴.
∴.----------------2分
又 ∵平面平面,
平面平面,平面,∴平面.
又平面,∴平面平面.----------4分
(Ⅱ)當點位于線段PC靠近C點的三等分點
處時,平面.--------5分
證明如下:連接AC,交于點N,連接MN.
∵,所以四邊形是梯形.
∵,∴.
又 ∵,
∴,∴MN.????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
∵平面,∴平面.??????????????????????????????????????????????????????? 9分
(Ⅲ)過作交于,
∵平面平面,
∴平面.
即為四棱錐的高.??????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
又 ∵是邊長為4的等邊三角形,∴.??????????????????? 12分
在中,斜邊邊上的高為,此即為梯形的高.
∴梯形的面積.????????????????????????????????????????? 14分
故.
18、解:(1)由,得
,…………………………2分
,
, ,
于是, ,
∴,即.…………………………7分
(2)∵角是一個三角形的最小內(nèi)角,∴0<≤,,………………10分
設,則≥(當且僅當時取=),………12分
故函數(shù)的值域為.…
19、解:(1)2008年A型車價格為32+32×25%=40(萬元)
設B型車每年下降d萬元,2003,2003,…,2008年B型車價格分別為…,為公差是-d的等差數(shù)列)
即
故每年至少下降2萬元。
(2)2008年到期時共有錢33
(萬元)
故5年到期后這筆錢夠買一輛降價后的B型車。
20、(I)由已知,可得,,1分
∴ 解之得, 3分
4分
(II) 5分
= 8分
(III)
10分
(1)
(2)
(1)―(2)得:
=,即,當時, ,13分
,使得當時,恒成立 14分
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