如圖：中心為原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線為y=x，焦點(diǎn)A、B在x軸上，焦距|AB|為．
（1）求此雙曲線方程；
（2）過(guò)P（2，0）的直線L交雙曲線于點(diǎn)M、N，．求證：對(duì)于任意直線L，數(shù)量積是定值，并求出該定值．
（3）在（2）的條件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

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如圖：中心為原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線為y=x，焦點(diǎn)A、B在x軸上，焦距|AB|為．
（1）求此雙曲線方程；
（2）過(guò)P（2，0）的直線L交雙曲線于點(diǎn)M、N，．求證：對(duì)于任意直線L，數(shù)量積是定值，并求出該定值．
（3）在（2）的條件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

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如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長(zhǎng)軸A₁A₂的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l₁：x=m（|m|＞1），P為l₁上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F₁PF₂最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）．

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如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　�。�

A、{x|- 2 ＜x＜0或 2 ＜x≤2}

B、{x|-2≤x＜- 2 或 2 ＜x≤2}

C、{x|-2≤x＜- 2 2 或 2 2 ＜x≤2}

D、{x|- 2 ＜x＜ 2 ，且x≠0}

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如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　　）

A、{ 2 2 ＜x≤2或 2 2 ＜x≤2}

B、{x|-2≤x＜ 2 或 2 ＜x≤2}

C、{x|- 2 ＜x＜0或 2 ＜x≤2}

D、{x|- 2 ＜x＜ 2 ，且x≠0}

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一、選擇題(每小題5分，共50分)

  1．C  2．B  3．D  4．A  5．C  6．B  7．A  8．C  9．B  10．D

二、填空題(每小題4分．共24分)

  11．5  12．4   13．3825   14． 15．   16．3

三．解答題(本大題共6小題，共76分)

17．(本題12分)

解：(Ⅰ)∵，

∴          ………………………(2分)

∴    ………………………(3分)

∴              ……………………(4分)

∵在中，

∴                             ………………………(5分)

(Ⅱ)設(shè)分別是中的對(duì)邊，

∵?

∴

∴    ①                                          ……………………(6分)

由正弦定理：，得              ……………………(7分)

∴

∴    ②                                          ……………………(8分)

由①②解得                                    ……………………(9分)

由余弦定理，得                       ………………(10分)

                                                        ………………(11分)

∴，即邊的長(zhǎng)為。                              ……………………(12分)

18．(本題12分]

解：(Ⅰ)∵是偶函數(shù)，

∴，即            ……(2分)

                                  ………………………………(4分)

∴對(duì)一切恒成立。

∴                                    ……………………………………(6分)

(Ⅱ)由                            ………………(7分)

                                           …………………(8分)

∵錯(cuò)誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。≥                                           ……………………(10分)

∴≥                                    …………………(11分)

∴≤

∴若使方程有解，則的取值范圍是≤          ………………(12分)

19．(本題12分)

解：(Ⅰ) ∵分別是的中點(diǎn)，

∴且                                  ……………………(1分)

∵平面,平面

∴平面                                   …………………………(2分)

∵平面平面，平面

∴                                          …………………………(4分)

∵是的中點(diǎn)，

∴是的中點(diǎn)．

∴                               ………………………(5分)

∴

∴四邊形是平行四邊形                         …………………………(6 分)

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，平面平面                   …………………(8分)

在上取一點(diǎn)，連接

當(dāng)時(shí)，

∵，

∴

即當(dāng)時(shí)，，                    ……………………(9分)

∵，，

∴平面                                       ……………………(10分)

∵

∴平面                                 ……………………………(11分)

∵平面

∴平面平面                     …………………………………(12分)

20．(本題12分)

解：(Ⅰ) ∵

∴                           ………………………………(2分)

∵在區(qū)間上為減函數(shù)

∴≤O在區(qū)間上恒成立                      …………………………(3分)

∵是開(kāi)口向上的拋物線

        ≤      ≤

∴只需              即                               …………………………(5分)

        ≤       ≤

∴≤≤                             ………………………………………(6分)

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，                     

∴存在，使得

∴在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)                      ……………(8分)

當(dāng)時(shí)                      

∴存在，使得

∴在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)                     ……………(10分)

當(dāng)≤≤時(shí)，由(Ⅰ)可知在區(qū)間上為減函數(shù)

∴在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為

當(dāng)≤≤時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為          ………(12分)

21．(本題14分)

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)，半焦距為，

由離心率，得

∵

∴            ①                                     …………………(2分)

∵直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，

∴  ②                                     …………………(4分)

①代人②，解得                            ………………………(6分)

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                        …………………………(7分)

(Ⅱ) ∵

∴?=

∴?=?(-)=²                                    …………………(9分)

設(shè),則，即                     ………………(10分)

∴?=²