如圖，矩形ABCD與矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角為a，記兩個矩形對角線的交點分別為Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求證：QQ′∥平面ABB′；
（2）當(dāng)b=

2

a，且a=

π

3

時，求異面直線AC與DB′所成的角；
（3）當(dāng)a＞b，且AC⊥DB'時，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

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某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為

1

10

，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最�。�
（2）若記ξ路線A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

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一、選擇題(每小題5分，共50分)

  1．C  2．B  3．D  4．A  5．C  6．B  7．A  8．C  9．B  10．D

二、填空題(每小題4分．共24分)

  11．5  12．4   13．3825   14． 15．   16．3

三．解答題(本大題共6小題，共76分)

17．(本題12分)

解：(Ⅰ)∵，

∴          ………………………(2分)

∴    ………………………(3分)

∴              ……………………(4分)

∵在中，

∴                             ………………………(5分)

(Ⅱ)設(shè)分別是中的對邊，

∵?

∴

∴    ①                                          ……………………(6分)

由正弦定理：，得              ……………………(7分)

∴

∴    ②                                          ……………………(8分)

由①②解得                                    ……………………(9分)

由余弦定理，得                       ………………(10分)

                                                        ………………(11分)

∴，即邊的長為。                              ……………………(12分)

18．(本題12分]

解：(Ⅰ)∵是偶函數(shù)，

∴，即            ……(2分)

                                  ………………………………(4分)

∴對一切恒成立。

∴                                    ……………………………………(6分)

(Ⅱ)由                            ………………(7分)

                                           …………………(8分)

∵錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。≥                                           ……………………(10分)

∴≥                                    …………………(11分)

∴≤

∴若使方程有解，則的取值范圍是≤          ………………(12分)

19．(本題12分)

解：(Ⅰ) ∵分別是的中點，

∴且                                  ……………………(1分)

∵平面,平面

∴平面                                   …………………………(2分)

∵平面平面，平面

∴                                          …………………………(4分)

∵是的中點，

∴是的中點．

∴                               ………………………(5分)

∴

∴四邊形是平行四邊形                         …………………………(6 分)

(Ⅱ)當(dāng)時，平面平面                   …………………(8分)

在上取一點，連接

當(dāng)時，

∵，

∴

即當(dāng)時，，                    ……………………(9分)

∵，，

∴平面                                       ……………………(10分)

∵

∴平面                                 ……………………………(11分)

∵平面

∴平面平面                     …………………………………(12分)

20．(本題12分)

解：(Ⅰ) ∵

∴                           ………………………………(2分)

∵在區(qū)間上為減函數(shù)

∴≤O在區(qū)間上恒成立                      …………………………(3分)

∵是開口向上的拋物線

        ≤      ≤

∴只需              即                               …………………………(5分)

        ≤       ≤

∴≤≤                             ………………………………………(6分)

(Ⅱ)當(dāng)時，                     

∴存在，使得

∴在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極小值點                      ……………(8分)

當(dāng)時                      

∴存在，使得

∴在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極大值點                     ……………(10分)

當(dāng)≤≤時，由(Ⅰ)可知在區(qū)間上為減函數(shù)

∴在區(qū)間內(nèi)沒有極值點．

綜上可知，當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的極值點個數(shù)為

當(dāng)≤≤時，在區(qū)間內(nèi)的極值點個數(shù)為          ………(12分)

21．(本題14分)

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長，半焦距為，

由離心率，得

∵

∴            ①                                     …………………(2分)

∵直線的方程為，原點到直線的距離為，

∴  ②                                     …………………(4分)

①代人②，解得                            ………………………(6分)

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                        …………………………(7分)

(Ⅱ) ∵

∴?=

∴?=?(-)=²                                    …………………(9分)

設(shè),則，即                     ………………(10分)

∴?=²