題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐中,⊥底面,底面為正方形,,,分別是,的中點(diǎn).
(I)求證:平面;
(II)求證:;
(III)設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.
【解析】第一問利用線面平行的判定定理,,得到
第二問中,利用,所以
又因為,,從而得
第三問中,借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.
(Ⅰ)證明: 分別是的中點(diǎn),
,. …4分
(Ⅱ)證明:四邊形為正方形,.
, .
, ,
.,. ………8分
(Ⅲ)解:連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,
∴
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點(diǎn),使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
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