題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). ①
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù).()
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)時(shí),,故. …………5分
所以. …………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令,得極值點(diǎn),,
當(dāng),即時(shí),在(,+∞)上有,此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
當(dāng),即時(shí),同理可知,在區(qū)間上遞增,
有,也不合題意; …………11分
② 若,則有,此時(shí)在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
由此求得的范圍是. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在直線下方.
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來源:]
所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí), 又 所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí), 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時(shí)
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為,無極小值
時(shí) 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價(jià)于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價(jià)于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),
故也是最小值點(diǎn),所以; ............6分
當(dāng)b<1時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)b>2時(shí),; ............8分
問題等價(jià)于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
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