題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問(wèn),第二問(wèn)中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn),使得,求此時(shí)二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分
又,得證。
第二問(wèn),建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分
(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
命題“若,,,則.”可以如下證明:構(gòu)造函數(shù),則,因?yàn)閷?duì)一切,恒有,所以,故得.
試解決下列問(wèn)題:
(1)若,,,,求證;
(2)試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù),并證明你的結(jié)論.
((本小題共13分)
若數(shù)列滿足,數(shù)列為數(shù)列,記=.
(Ⅰ)寫(xiě)出一個(gè)滿足,且〉0的數(shù)列;
(Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說(shuō)明理由。
【解析】:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5)
(Ⅱ)必要性:因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列,所以.所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a10001,a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999,即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證。
如圖,在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,為棱上一點(diǎn),且平面平面.
(Ⅰ)求證:點(diǎn)為棱的中點(diǎn);
(Ⅱ)判斷四棱錐和的體積是否相等,并證明。
【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問(wèn)題的運(yùn)用。第一問(wèn)中,
易知,面。由此知:從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(2)中由A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD,D為BB1中點(diǎn),可以得證。
(1)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),取的中點(diǎn),連。面面且相交于,面內(nèi)的直線,面!3分
又面面且相交于,且為等腰三角形,易知,面。由此知:,從而有共面,又易知面,故有從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn). …6分
(2)相等.ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴BB1⊥A1B1,BB1⊥BC,又A1B1⊥B1C1,BC⊥AB,
∴A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD(9分)∴VA1-B1C1CD=1 /3 SB1C1CD•A1B1=1/ 3 ×1 2 (B1D+CC1)×B1C1×A1B1VC-A1ABD=1 /3 SA1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA1)×AB×BC∵D為BB1中點(diǎn),∴VA1-B1C1CD=VC-A1ABD
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