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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列 的前項(xiàng)和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸，點(diǎn)在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一、選擇題：(共8題,每小題5分,滿分40分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

D

C

A

D

B

B

二、填空題：（每題5分，共30分）

9. 8                10. 60             11. 8            12.

13. 10或0(答對(duì)一個(gè)給3分)        14.          15.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16．（本題滿分12分）

解:(Ⅰ) =……1分

=……2分

∵

……4分

 

……6分

∵……7分

.……8分

(Ⅱ)在中，， ，

……9分

由正弦定理知：……10分

=.

……12分

 

17. 本題滿分12分

 解:(Ⅰ)由 知是方程的兩根,注意到得 .……2分

得.

等比數(shù)列.的公比為,……4分

(Ⅱ)……5分

……7分

數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列. ……8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,有

……=……

=……10分

∵

,整理得,解得.……11分

的最大值是7. ……12分

 

18. 本題滿分14分

解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.……4分

(Ⅱ)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量,設(shè)為X,其所有可能值為0, ,2,3.……6分

X=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng),所以……7分

 

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是.……12分

要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利,應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額,因此應(yīng)有,所以, …… 13分

故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為100元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利. …… 14分

 

19.本題滿分14分

.解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//, //    

四邊形EFOG是平行四邊形, 平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如圖以D為原點(diǎn),以

為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系.

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:

……2分

設(shè)平面EFG的法向量為

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG.

 AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一個(gè)法向量, =……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分

……10分

結(jié)合圖知二面角的平面角為……11分

(Ⅲ) ……14分

 

20. 本題滿分14分

 (Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.……1分

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.……2分

則……4分

.……5分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……6分

(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.……7分

設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

聯(lián)立方程:

消去整理得,

有……9分

若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以,……10分

 

所以,,

即

所以,

即……11分   得……12分

所以直線的方程為,或.……13分

所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn). ……14分

 

21: 本題滿分14分

 (Ⅰ)

……2分

 ……4分

(Ⅱ)

(?)0<t<t+2<，t無解；……5分

(?)0<t<<t+2，即0<t<時(shí)，；……7分

(?)，即時(shí)，，……9分

……10分

(Ⅲ)由題意:

即

可得……11分

設(shè),

則……12分

令,得(舍)

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),取得最大值, =-2……13分

.

的取值范圍是.……14分

 


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