如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2

2

．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)C的曲線E，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內(nèi)，設(shè)點(diǎn)Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線CG上的動(dòng)點(diǎn)，其中G為曲線E和DC的交點(diǎn)．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)Q點(diǎn)在曲線段GC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試提出一個(gè)研究有關(guān)四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關(guān)系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質(zhì)量和解決難度分層評分；本小題的計(jì)算結(jié)果可以使用近似值，保留3位小數(shù)）

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大�。�
（2）若平面ABCD內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)C的曲線E，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內(nèi)，設(shè)點(diǎn)Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線CG上的動(dòng)點(diǎn)，其中G為曲線E和DC的交點(diǎn)．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)Q點(diǎn)在曲線段GC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試提出一個(gè)研究有關(guān)四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關(guān)系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質(zhì)量和解決難度分層評分；本小題的計(jì)算結(jié)果可以使用近似值，保留3位小數(shù)）

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

…2

…4

…8

…12

17.（文，滿分12分）

解：因?yàn)?sub>，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

…4

…6

…8

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因?yàn)?sub>

所以，

即或，

或，

又由，即

當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或.

所以，集合.

…3

…7

…11

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當(dāng)時(shí)，

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法

（i）當(dāng)時(shí)，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，其中為奇數(shù)；

則當(dāng)時(shí)，

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因?yàn)?sub>

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，

因?yàn)槠渲?sub>中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項(xiàng)均為奇數(shù).

…3

…6

…8

…10

…14

…15

…10

…14

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

…3

…8

…10

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當(dāng)和之間的距離為1米時(shí)，應(yīng)位于上方，

且此時(shí)中邊上的高為0.5米.

又因?yàn)?sub>米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

的面積；

2如圖（2）所示，當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

，故可得的面積

；

綜合可得：

（3）1當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則有；

2當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，

，

等號成立，.

因而當(dāng)（米）時(shí)，每個(gè)三角通風(fēng)窗得到最大通風(fēng)面積，最大面積為（平方米）.

…2

…4

…6

…9

…10

…12

…15

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

因?yàn)殡p曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)?sub>，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

   ①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).

 ②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

…3

…5

…7

…9

…11

…13

…16

…17

…18

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因?yàn)?sub>，又平面，

所以平面，則有.

    因?yàn)?sub>，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）解法一：由條件，過作，垂足為，聯(lián)結(jié).

于是有，故與所成角即為.

在平面中，以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)，

則有

又平面