題目列表(包括答案和解析)
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b |
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a |
b |
lim |
n→∞ |
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3 |
2 |
3 |
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b |
1 |
2 |
a |
b |
lim |
n→∞ |
一、填空題(每題5分,理科總分55分、文科總分60分):
1. ; 2. 理:2;文:; 3. 理:1.885;文:2;
4. 理:;文:1.885; 5. 理:;文:4; 6. 理:;文:;
7. 理:;文:; 8. 理:;文:6; 9. 理:;文:;
10. 理:1; 文:; 11. 理:;文:; 12. 文:;
二、選擇題(每題4分,總分16分):
題號
理12;文13
理13;文14
理:14;文:15
理15;文:16
答案
A
C
B
C
三、解答題:
16.(理,滿分12分)
解:因為拋物線的焦點的坐標為,設、,
由條件,則直線的方程為,
代入拋物線方程,可得,則.
于是,.
…2
…4
…8
…12
17.(文,滿分12分)
解:因為,所以由條件可得,.
即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.
又,
所以,.
…4
…6
…8
…12
(理)17.(文)18. (滿分14分)
解:因為
所以,
即或,
或,
又由,即
當時,或;當時,或.
所以,集合.
…3
…7
…11
…14
18.(理,滿分15分,第1小題6分,第2小題9分)
解:(1)當時,
故,,所以.
(2)證:由數(shù)學歸納法
(i)當時,易知,為奇數(shù);
(ii)假設當時,,其中為奇數(shù);
則當時,
所以,又、,所以是偶數(shù),
而由歸納假設知是奇數(shù),故也是奇數(shù).
綜上(i)、(ii)可知,的值一定是奇數(shù).
證法二:因為
當為奇數(shù)時,
則當時,是奇數(shù);當時,
因為其中中必能被2整除,所以為偶數(shù),
于是,必為奇數(shù);
當為偶數(shù)時,
其中均能被2整除,于是必為奇數(shù).
綜上可知,各項均為奇數(shù).
…3
…6
…8
…10
…14
…15
…10
…14
…15
19. (文,滿分14分)
解:如圖,設中點為,聯(lián)結、.
由題意,,,所以為等邊三角形,
故,且.
又,
所以.
而圓錐體的底面圓面積為,
所以圓錐體體積.
…3
…8
…10
…14
(理)19. (文)20. (滿分16分,第1小題4分,第2小題6分,第3小題6分)
解:(1)由題意,當和之間的距離為
且此時中邊上的高為
又因為米,可得米.
所以,平方米,
即三角通風窗的通風面積為平方米.
(2)1如圖(1)所示,當在矩形區(qū)域滑動,即時,
的面積;
2如圖(2)所示,當在半圓形區(qū)域滑動,即時,
,故可得的面積
;
綜合可得:
(3)1當在矩形區(qū)域滑動時,在區(qū)間上單調遞減,
則有;
2當在半圓形區(qū)域滑動時,
,
等號成立,.
因而當(米)時,每個三角通風窗得到最大通風面積,最大面積為(平方米).
…2
…4
…6
…9
…10
…12
…15
…16
21(文,滿分18分,第1小題5分,第2小題6分,第3小題7分)
解:(1)設右焦點坐標為().
因為雙曲線C為等軸雙曲線,所以其漸近線必為,
由對稱性可知,右焦點到兩條漸近線距離相等,且.
于是可知,為等腰直角三角形,則由,
又由等軸雙曲線中,.
即,等軸雙曲線的方程為.
(2)設、為雙曲線直線的兩個交點.
因為,直線的方向向量為,直線的方程為
.
代入雙曲線的方程,可得,
于是有
而
.
(3)假設存在定點,使為常數(shù),其中,為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.
①當直線與軸不垂直時,設直線的方程為
代入,可得.
由題意可知,,則有 ,.
于是,
要使是與無關的常數(shù),當且僅當,此時.
②當直線與軸垂直時,可得點,,
若,亦為常數(shù).
綜上可知,在軸上存在定點,使為常數(shù).
…3
…5
…7
…9
…11
…13
…16
…17
…18
20(理,滿分22分,第1小題4分,第2小題6分,第3小題12分)
解:(1)解法一:由題意,四邊形是直角梯形,且∥,
則與所成的角即為.
因為,又平面,
所以平面,則有.
因為,,
所以,則,
即異面直線與所成角的大小為.
解法二:如圖,以為原點,直線為軸、直線為軸、直線為軸,
建立空間直角坐標系.
于是有、,則有,又
則異面直線與所成角滿足,
所以,異面直線與所成角的大小為.
(2)解法一:由條件,過作,垂足為,聯(lián)結.
于是有,故與所成角即為.
在平面中,以為原點,直線為軸,直線為軸,建立平面直角坐標系. 設動點,
則有
又平面
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