所以 kA2=Mvm2 ⑤解得小車的最大速度 vm=1m/s ⑥(3)小物塊b與小車a碰撞后.小車a的速度為vm.設(shè)此時(shí)小物塊的速度為v1/.設(shè)向右為正方向.由動(dòng)量守恒定律有 mv1=mv/1+Mvm ⑦解得 v1′=?2m/s ⑧ 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定,另一端與質(zhì)量為m的滑塊相連.滑塊在光滑水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期為T,振幅為A.滑塊從最大位移向平衡位置運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,在求彈簧彈力的沖量大小時(shí),有以下兩種不同的解法:
解法一解法二
由于彈簧的彈力F與位移x成正比,所以甲同學(xué)先求出0~內(nèi)的平均彈力
=
由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間是,所以
I=?=
乙同學(xué)查閱資料后得到彈性勢(shì)能的表達(dá)式是:Ep=kx2(x為彈簧的形變量).
設(shè)滑塊到達(dá)平衡位置時(shí)的速度為v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律:kA2=mv2
所以:v=A
又根據(jù)動(dòng)量定理:I=mv-O=A
關(guān)于以上兩種解法,下列判斷準(zhǔn)確的是( )

A.只有解法一正確
B.只有解法二正確
C.解法一和解法二都正確
D.解法一和解法二都不正確

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第六部分 振動(dòng)和波

第一講 基本知識(shí)介紹

《振動(dòng)和波》的競(jìng)賽考綱和高考要求有很大的不同,必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義:= -k             

凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點(diǎn),均可稱之為諧振子,如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度:= -

2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程

回避高等數(shù)學(xué)工具,我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)(以下均看在x方向的投影),圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。

依據(jù):x = -mω2Acosθ= -mω2

對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng),m、ω是恒定不變的,可以令:

2 = k 

這樣,以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以,x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——

位移方程: = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程: = -ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程:= -ω2A cos(ωt +φ)                                   ④

相關(guān)名詞:(ωt +φ)稱相位,φ稱初相。

運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系:= -ω2

A = 

tgφ= -

3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x1 + x2 ,解得

A =  ,φ= arctg 

顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅A最大,當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí),這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程,消去參數(shù)t后,得一般形式的軌跡方程為

+-2cos(φ2-φ1) = sin22-φ1)

顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有y = x ,軌跡為直線,合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);

當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有+= 1 ,軌跡為橢圓,合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);

當(dāng)φ2-φ1取其它值,軌跡將更為復(fù)雜,稱“李薩如圖形”,不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ,由于合運(yùn)動(dòng)x = x1 + x2 ,得:x =(2Acost)cos(t +φ)。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng),但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),稱為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。

4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

由②式得:ω=  ,而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的,所以

T = 2π                                                      

5、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量

一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)成,即

mv2 + kx2 = kA2

注意:振子的勢(shì)能是由(回復(fù)力系數(shù))k和(相對(duì)平衡位置位移)x決定的一個(gè)抽象的概念,而不是具體地指重力勢(shì)能或彈性勢(shì)能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢(shì)能后,其它的具體勢(shì)能不能再做重復(fù)計(jì)量。

6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振

和高考要求基本相同。

二、機(jī)械波

1、波的產(chǎn)生和傳播

產(chǎn)生的過(guò)程和條件;傳播的性質(zhì),相關(guān)參量(決定參量的物理因素)

2、機(jī)械波的描述

a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系

b、波動(dòng)方程

如果一列簡(jiǎn)諧波沿x方向傳播,振源的振動(dòng)方程為y = Acos(ωt + φ),波的傳播速度為v ,那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω(t - )+ φ〕

這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ,都有一個(gè)y(x)的正弦函數(shù),在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以,稱y = Acos〔ω(t - )+ φ〕為波動(dòng)方程。

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí),能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播,在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加(包括位移、速度和加速度的疊加)。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí),在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài):振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開(kāi)。

我們可以用波程差的方法來(lái)討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示,我們用S1和S2表示兩個(gè)波源,P表示空間任意一點(diǎn)。

當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí),令振源S1的振動(dòng)方程為y1 = A1cosωt ,振源S1的振動(dòng)方程為y2 = A2cosωt ,則在空間P點(diǎn)(距S1為r1 ,距S2為r2),兩振源引起的分振動(dòng)分別是

y1′= A1cos〔ω(t ? )〕

y2′= A2cos〔ω(t ? )〕

P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問(wèn)題(φ1 =  ,φ2 = ),且初相差Δφ= (r2 – r1)。根據(jù)前面已經(jīng)做過(guò)的討論,有

r2 ? r1 = kλ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng),振幅為A1 + A2 ;

r2 ? r1 =(2k ? 1)時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)削弱,振幅為│A1-A2│。

4、波的反射、折射和衍射

知識(shí)點(diǎn)和高考要求相同。

5、多普勒效應(yīng)

當(dāng)波源或者接受者相對(duì)與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況(在討論中注意:波源的發(fā)波頻率f和波相對(duì)介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的)——

a、只有接收者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖3所示)

設(shè)接收者以速度v1正對(duì)靜止的波源運(yùn)動(dòng)。

如果接收者靜止在A點(diǎn),他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f ,

當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn),則= v1 ,、

在從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中,接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波

n = 

顯然,在單位時(shí)間內(nèi),接收者接收到的總的波的數(shù)目為:f + n = f ,這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f。即

f

顯然,如果v1背離波源運(yùn)動(dòng),只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對(duì)S ,只要將v1出正對(duì)的分量即可。

b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖4所示)

設(shè)波源以速度v2正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。

如果波源S不動(dòng),在單位時(shí)間內(nèi),接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f(shuō)個(gè)波,故S到A的距離:= fλ 

在單位時(shí)間內(nèi),S運(yùn)動(dòng)至S′,即= v2 。由于波源的運(yùn)動(dòng),事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里,波長(zhǎng)將變短,新的波長(zhǎng)

λ′= 

而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ,故“被壓縮”的波(A接收到的波)的頻率變?yōu)?/p>

f2 = 

當(dāng)v2背離接收者,或有一定夾角的討論,類似a情形。

c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v1(相對(duì)介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),波源也正對(duì)接收者以速度v2(相對(duì)介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),我們的討論可以在b情形的過(guò)程上延續(xù)…

f3 =  f2 = 

關(guān)于速度方向改變的問(wèn)題,討論類似a情形。

6、聲波

a、樂(lè)音和噪音

b、聲音的三要素:音調(diào)、響度和音品

c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專題

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算

物理情形:如圖5所示,將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定,其中裝有一定量的水銀,汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng) 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后,開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力,試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并求其周期。

模型分析:對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明,只要以汞柱為對(duì)象,看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①,值得注意的是,回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力(而非整體合力)。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后,回復(fù)力系數(shù)k就有了,求周期就是順理成章的事。

本題中,可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ,則次瞬時(shí)的回復(fù)力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m為固定值,可令: = k ,而且ΣF與x的方向相反,故汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

周期T = 2π= 2π

答:汞柱的周期為2π 。

學(xué)生活動(dòng):如圖6所示,兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置,繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng),在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L(zhǎng) 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ,且木板放置時(shí),重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。

思路提示:找平衡位置(木板重心在兩滾輪中央處)→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

答案:木板運(yùn)動(dòng)周期為2π 。

鞏固應(yīng)用:如圖7所示,三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng) = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿,構(gòu)成一正三角形框架ABC,C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上,整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌,一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng),F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng),而框架卻靜止不動(dòng),試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。

解說(shuō):由于框架靜止不動(dòng),松鼠在豎直方向必平衡,即:松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ,即:

N = mg                            ①

再回到框架,其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸,形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ,它們合力矩為零,即:

MN = Mf

現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置(如圖7,設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x),上式即成:

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②兩式可得:f = x ,且f的方向水平向左。

根據(jù)牛頓第三定律,這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn),x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素,松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——

= -k

其中k =  ,對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言,k是固定不變的。

顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。

答案:松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

評(píng)說(shuō):這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題,問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解,以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件,所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如,我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為:T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、彈簧振子

物理情形:如圖8所示,用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球,置于傾角為θ

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一本書(shū)放在水平桌面上靜止,錯(cuò)誤 的說(shuō)法是( 。

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關(guān)于平拋物體的運(yùn)動(dòng),以下說(shuō)法正確的是( 。

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關(guān)于經(jīng)典力學(xué)的局限性,下列說(shuō)法正確的是(  )

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