14.2002年8月.在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).其會(huì)徽如圖所示.它是由4個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形.若直角三角形中較小的銳角為θ.大正方形的面積是1.小正方形的面積是.則sin2θ-cos2θ的值等于 . 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

2002年8月,在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),大會(huì)會(huì)標(biāo)為右圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形,若直角三角形中較大的銳角為,大正方形的面積為1,小正方形的面積為,則sin2-cos2的值等于

[  ]

A.1

B.

C.

D.

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2002年8月,在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),大會(huì)會(huì)標(biāo)為圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形,若直角三角形中較大的銳角為,大正方形的面積為1,小正方形的面積為,則sin2-cos2的值等于

[  ]

A.1

B.

C.

D.

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2002年8月,在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),大會(huì)會(huì)標(biāo)為下圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形,若直角三角形有較大的銳角為,大正方形ABCD的面積為1,小正方形EFGH的面積為,則的值等于

[  ]

A.

B.

C.

D.

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2002年8月在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),會(huì)標(biāo)如圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形面積是1,小正方形面積是,則sin2θ-cos2θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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2002年8月在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),會(huì)標(biāo)如圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形面積是1,小正方形面積是,則sin2θ-cos2θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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一、選擇題:1~12(5×12=60)

題號(hào)

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

A

B

C

D

B

D

C

B

C

C

D

二、填空題:13、B;14、-;15、32005;16、(2-2,2)。

三、解答題:

17.解:(1)根據(jù)已知條件得:△=16sin2θ-4atanθ=0

              即:a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知:

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0,2)                                                                            6分

         (2)當(dāng)a=時(shí)由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=,而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos2()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.解:(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

              ∵函數(shù)f(x)在x=3處取得極值

              ∴x=3時(shí),f′(x)=0

∴a=3                                                                                         5分

          (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

              i)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)≥0恒成立

               函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)增                                                  7分

              ii)當(dāng)a<1時(shí),由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1),(a,+∞)                                           9分

              iii)當(dāng)a>1時(shí),由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1),(a,+∞)                                           11分

                綜上:當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞)

                當(dāng)a<1時(shí),函數(shù)f(x)的增區(qū)間為

                (-∞,1),(1,+∞)

                當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)的增區(qū)間為

                (-∞,1),(a,+∞)                                                                 12分

19.(九A解法)解:(1)取AC、CC1中點(diǎn)分別為M、N,連接MN、NB1、MB1,

              ∵AC1∥MN,NB1∥CE

              ∴∠MNB1是CE與AC1成角的補(bǔ)角                                            2分

              Rt△NB1C1中,NB1=

              Rt△MNC中,MN=6

              Rt△MBB1中,MB1=

              ∴cos∠MNB1=-

              ∴CE與AC1的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P,則A1D在面BCC1B1上的射影為C1P,而CE⊥A1D,由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C1P,又BCC1B為正方形

              ∴P為BC中點(diǎn),D為AB中點(diǎn),                                                6分

              ∴CD⊥AB,CD⊥AA1

              ∴CD⊥面ABB1A1                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A1DE

              ∴過D作DF⊥A1E于F,連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A1E

              ∴∠CFD為二面角C-A1E-D的平面角                                         10分

              又∵A1D=

              ∴A1D2+DE2=A1E2=324

              ∴∠A1DE=90°

              ∴DF=6,又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A1E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量的方法求解)

20.解:由已知得:

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即:p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3

              則有函數(shù)f(p)在p∈[0,4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當(dāng)x=1時(shí)不恒成立

          (2)當(dāng)x≠1時(shí),有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

21.解:(1)經(jīng)觀察得第一行有20個(gè)數(shù),第二行有21個(gè)數(shù),第三行有22個(gè)數(shù),第四行有23個(gè)數(shù)------

              因此前n行有20+21+22+23+---+2n-1=個(gè)數(shù)

              所以,第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n-1                                              4分

          (2)由(1)知,前n-1行菜有2n-1-1個(gè)數(shù),因此,第n行的第一個(gè)數(shù)為2n-1,第n行的最后一個(gè)是2n-1,它們構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列。

              因此,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有:

                              8分

          (3)因?yàn)?10=1024

                       211=2048

                       210<2008<211

               所以2008位于第11行

              該行第一個(gè)數(shù)是210=1024,由2008-1024+1=985

              所以2008是第11和的985個(gè)數(shù) 。                                              12分

22.解:(1)由已知可設(shè)F(c,0),Q(x1,y1)

         則

         ∵

         ∴c(x1-c)=1

         ∴x1=                                                                                    2分

       又直線FQ的方程為:y=tanθ(x-c)

       ∴y1=

       而S=

              =

              =tanθ                                                                                     4分

       又已知<S<2

       ∴      tanθ<4

       又θ為銳角

       ∴<arctan4                                                                                7分

 

 


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