已知方程(x2-6x+k)(x2+6x+h)=0的4個(gè)實(shí)根經(jīng)過(guò)調(diào)整后組成一個(gè)以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列.則k+h= 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知方程(x2-6x+k)(x2+6
2
x+h)=0
的4個(gè)實(shí)根經(jīng)過(guò)調(diào)整后組成一個(gè)以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列,則k+h的值為( 。

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一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。

1.D點(diǎn)拔:由已知可得M=N,故,a、b是方程x2-4x+2=0的兩根,故a+b=4

2.D 點(diǎn)拔:

 ∴等號(hào)取不到,即故A、B、C均正確,而D顯然錯(cuò)誤,應(yīng)為|a|-|b|<|a-b|.

3.A 點(diǎn)拔: 由題意知,選出的6名學(xué)生中應(yīng)有4名女生,2名男生,故共C種不同的抽取方法。

4.D 點(diǎn)拔:若2為方程x2-6x+k=0的根.∴另一根為4,故k=8.又方程x2+6的兩根與2,4,按一定次序可排成以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列,故另兩根易求出,分別為-2和-4.∴h=16,∴k+h=24,而其余情況均不可能.

5.C 點(diǎn)拔:tan110°=tan(120°-10°)= tan110°=tan(90°+20°)= -cot20°= -

6.B 點(diǎn)拔:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào),這時(shí)|PF1|=4a,由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,故1<e=

7.D 點(diǎn)拔:f(x)的圖象可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的兩端點(diǎn)處取得極值,且從ab的各點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是先增大后減小,故選D.

8.D 點(diǎn)拔:如圖所示,把對(duì)角面A1CA1B旋轉(zhuǎn)至A1BCD1,

  使其與△AA1B在同一平面上,連接AD1′,則AD1′=

  為所求的最小值.

9.B 點(diǎn)拔:設(shè)線(xiàn)段BC的中D,則

  ∴

  ∴

  ∴

  =λ()=0

  ∴DP⊥BC.∴點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的外心.

10.C 點(diǎn)拔:如圖,作出函數(shù)f(x)的圖象,可知關(guān)于f(x)的方程有一

正根和一零根,不妨設(shè)f(x1)=0且f(x2)=f(x3)=m

∴由圖像對(duì)稱(chēng)性知x2+x3=2,又x1=1,∴(x1+x2+x3)2=9.

二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.

11.-3點(diǎn)拔:z=

12.1<a<點(diǎn)拔:易知f(x)為奇函數(shù)且在定義域上增函數(shù),∴原不等式可化為f(1-a)<f(a2-1),其等價(jià)于不等式組

13.-t2+t+點(diǎn)拔:如圖,由題設(shè)條件所確定的區(qū)域?yàn)閳D中所示陰影部分.

∴S=×2×1-t2-(1-t)2=-t2+t+.

14.[ )∪(1,]點(diǎn)拔:函數(shù)y=的圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為1,最長(zhǎng)距離為3.

q的最大值為的最小值為.又q≠1  ∴q∈[)∪(1, ].

15.n?2n-1點(diǎn)拔:對(duì)于任一個(gè)不含元素n的子集A,加入一個(gè)元素n后成集B,則集合A與集合B“交替和”的和為n.這種構(gòu)造的集合A集合與集合B是一一對(duì)應(yīng)的,各有2n-1個(gè),切每一對(duì)集合的“交替和”的和為n,故非空子集的“交集和”的總和Sn=n?2n-1.

三、解答題:本大題共6小題,共75分.

16.(1)∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),

  ∴=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),                 ………………(2分)

  由||=||得

  即cosα=sinα,                                                                 ………………(4分)

  ∵   ∴a=                                             ………………(6分)

  (2)由得,(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1

  即sinα+cosα=                                                            ………………(8分)

  ∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

  又∴sinα>0,cosα<0.

  (cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-(-)=,                        ………………(10分)

  ∴cosα-sinα=-                                                        ………………(12分)

 17.(1)y=f(x)=3x2-a.                                                       ………………(2分)

  若f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),則須y≤0,即α≥3x2恒成立,這樣的實(shí)數(shù)a不存在,故f(x)在[1,+∞)上不可能是單調(diào)遞減函數(shù);                     ………………(4分)

  若f(x)在[1,+∞)]上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x2恒成立,由于x∈[1,+∞),故3x2≥3.從而0<a≤3.                                                                            ………………(6分)

  (2)解法一  (反證法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能為單調(diào)遞函數(shù).

假設(shè)f(x0)≠x0,

若1≤x0<f(x0),則f(x0)<f(f(x0))=x0,矛盾;                         ………………(8分)

若1≤f(x0)<x0,則f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0),矛盾,                ………………(10分)

故只有f(x0)=x0成立.                                                         ………………(12分)

解法二 設(shè)f(x0)=u (u≥1),則f(u)=x0,∴x兩式相減得(x)-a(x0-u)-x0,

∴(x0-u)(x+x0u+u2+1-a)=0,                                              …………………(8分)

x0≥1,u≥1,∴x+x0u+u2≥3.

0<a≤3,∴x+x0u+u2+1-a>0.

x0-u≤0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.                                         …………………(12分)

18.(1)連結(jié)DM、D屏延長(zhǎng),分別交AB、A1B1于點(diǎn)P、Q,連結(jié)PQ

  ∵M、N分別為△ABD、△A1B1D的垂心,則P、Q分別為AB、A1B1的中點(diǎn),

  且PQBB1MN,  …………………(2分)

  ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1BC,∴MNBC.     …………………(4分)

  (2)連結(jié)CP,∵AC=BC,∴CPAB,又∵CC1⊥面ABC,

AD=DB=,  ∴DPAB

  ∴∠CPD即為二面角C-AB-D的平面角,∴∠CPD=arctan,

  在Rt△ABC中,AC=BC=2,∴CP=

  ∴在RtCDP中,CD=CP?tan∠CPD=2,

  ∵CC1=AA1=4,∴DC1=2,                                                           …………………(6分)

  連結(jié)C1Q,C1Q=CP=

A1D=DB1=A1B1的中點(diǎn),∴DQA1B1

S△A1B1D=,

設(shè)C1到面DA1B1的距離為h

VC1-A1B1D=VD-A1B1C1,∴h?SA1B1D=C1D?S△A1B1C1,

h=.                                                                              …………………(8分)

(3)∵CM⊥面ABD,∴CM⊥DP,∴

CD=2,∴C1D=2,則DQ=DP,∵MNPQ,∴DM=DN,

CD2=DM?DP,∴DC=DN?DQ

∴△DC1Q~△DNC1,∴∠C1ND=∠DC1Q=90°,                         …………………(10分)

C1NDQ,又∵A1B1⊥面C1CPQ,∴A1B1C1N,

C1N⊥面A1B1D,∴C1在面A1B1D的射影即為N.                    …………………(12分)

解法二:空間向量解法:以C1為原點(diǎn),如右圖建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)設(shè)C1D=a(0≤a≤4),依題意有:

D(0,0,a),A(2,0,4),B(0,2,4),C(0,0,4),C1(0,0,0),

A1(2,0,0),B1(0,2,0)                  …………………(2分)

因?yàn)?i>M、N分別為△ABD,△A1B1D的重心.

所以M,

,∴MNBC.                             …………………(4分)

(2)因?yàn)槠矫?i>ABC的法向量n1=(0,0,-1),設(shè)平面ABD的法向量n2=(x1y1,z1).

x1=1n2=,設(shè)二面角C-AB-Dθ,則由tanθ=

因此cosθ= (舍)或a=2,

                                                                                               ………………(6分)

設(shè)平面A1B1D的法向量為n3=(x,y,z),則

 令x=1有n3=1(1,1,1),

設(shè)C1到平面A1B1D的距離為d,則d=.…………………(8分)

(3)若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M,則

即()?(-2,0,a-4)=0(舍)或a=2,……(10分)

因此DCC1的中點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知C1在平面A1B1D的射影正好為N. …(12分)

19.設(shè)甲、乙兩位旅客的候車(chē)時(shí)間分別為ξ,η分鐘,則他們的分布列為;

甲旅客                                                 乙旅客

ξ   10    30       50           η    10    30    50     70      90

P    

易知Eξ=10×,                            …………(8分)

Eη=,…………(10分)

Eξ<Eη,旅客甲候車(chē)時(shí)間的平均值比旅客乙多.

答:旅客甲候車(chē)時(shí)間的平均值比旅客乙多.                              …………(12分)

20.(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,∴△=a2-4a=0a=0或a=4,,

  當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增,故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.

                                                                                                  …………(2分)

  綜上,得a=4,f(x)=x2-4x+4,∴Sn=n2-4n+4,∴an=Sn-Sn-1=………(5分)

  (2)要使=2,可構(gòu)造數(shù)列bn=n-k, …………………………………………(6分)

 ∵對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn<an,

 ∴當(dāng)n≥2時(shí),n-k<2n-5恒成立且1-k<1,即n>5-k恒成立且k>0,

 即                            ……………………………………(8分)

 又bn≠0,∴k∈N*,∴bn=n-,等等.                     ……………………………………(9分)

(3)解法一:由題設(shè)cn=,

n≥3時(shí),cn+1-cn=n≥3時(shí),數(shù)列{cn}遞增,

                                                                                        …………………………(11分)

a4=-,可知a4?a5<0,即n≥3時(shí),有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù);

又∵c1=-3,c2=5,c3=-3, 即c1?c2<0,c2?c3<0, ∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè).

綜上得數(shù)列{cn}共有3個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為3.               …………………………(13分)

解法二:由題設(shè)cn=,

n≥2時(shí),令cn?cn+1<0n=4;

                                                                                        …………………………(11分)

又∵c1=-3,c2=5,∴n=1時(shí)也有c1?c2<0.

綜上得數(shù)列{cn}共有3個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為3.               …………………………(13分)

21.如右圖,連結(jié)MOCC1E,連結(jié)DE,延長(zhǎng)DA,CN交于Q,連結(jié)OQAMP,則PQ為所求的線(xiàn)段易得,………………(2分)

 在Rr△PMO中,可得到

PO=,

PQ=2PO=.                                                          ………………………(4分)

(2)過(guò)TTEDD1E,過(guò)TTFAA1F,

平面TEF,故AA1EFTF∥PT,

Rt△TFE中,TF2=TE2=TE2-1=PT2TE=PT

T點(diǎn)的軌跡是以P為焦點(diǎn),以AA1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),(7分)

以過(guò)P點(diǎn)且垂直AA1的直線(xiàn)為x軸,以P點(diǎn)到AA1

的垂線(xiàn)段的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線(xiàn)

的方程y2=2px(p>0),由于P咪到AA1的距離為,

∴曲線(xiàn)K的方程為y2=                                         ……………(9分)

(3)假設(shè)拋物線(xiàn)與圓有交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)為G,則∠PGB為直角,易得PB2==,且B點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)部,

PG2+GB2+,                                                            …………………(11分)

PG2+GB2

過(guò)GGHAA1,則PG=HG,

PG2+GB2矛盾,故交點(diǎn)G不存在,于是以PB為直徑的圓與曲線(xiàn)K沒(méi)有交點(diǎn).                              ……………………(14分)

 


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