已知函數(shù)f(x) = -x3+ax2+b的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都小于1. (1)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-x的單調(diào)性.并加以證明, (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=-x3-ax2+b2x+1(a、b∈R).

(1)若a=1,b=1,求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間;

(2)已知x1,x2為f(x)的極值點(diǎn),且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒小于m,求m的取值范圍

 

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已知函數(shù)f(x)=-x3-ax2+b2x+1(a、b∈R).
(1)若a=1,b=1,求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)已知x1,x2為f(x)的極值點(diǎn),且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒小于m,求m的取值范圍

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已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).

①若f(x)在[0,2]上是增函數(shù),x=2是方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根,求證:f(1)≤-2;

②若f(x)的圖象上任意不同兩點(diǎn)的連線斜率小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)

(1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=2處取得極值,且極小值為-2,求a,b的值.

(2)若x∈[0,1],函數(shù)f(x)在圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率為k,求k≤1恒成立時(shí)a取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空題

13.             14.            15.1<m<2              16.2x+6

三、解答題

17.(1)將正弦定量代入條件得:                         …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

   2sinAcosB+sin(B+C)=0

B+C=π-A,得2sinAcosB+sinA=0                                                    …………4分

   又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π,∴B=                                   …………6分

(2)由余弦定理有:b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-acb= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

 ∴S△ABC=                                  …………12分

18.(1)由Sn=(an+1)2,且an>0,得a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2

(an-1)2-(an-1+1)2=0,       (an+an-1)(an-an-1-2)=0

an-an-1-2=0,  即an-an-1=2,   ∴{an}是公差為2的等數(shù)列

an=2n-1                                                                                          …………6分

(2)Cn=

Tn=

Tn=1+1            …………12分

19.(1)20個(gè)數(shù)中有3的倍數(shù)6個(gè),除以3余1的7個(gè),余2的7個(gè)   …………2分

P1=                                                          …………6分

(2)20個(gè)奇數(shù)有10個(gè)偶數(shù)有10個(gè),其中5個(gè)是4的倍數(shù)。                 …………8分

P2=1                                                                     …………12分

20.(1)連結(jié)A1B、A1E,并延長(zhǎng)A1EAC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連BPEC1C的中點(diǎn),A1C1CP,可證A1E=EP,

D、E分別是A1B、A1P的中點(diǎn),

DE∥BP

BPABC,DEABC

DE∥平面ABC                                                                               …………4分

(2)∵△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,F(xiàn)為BC的中點(diǎn)

∴BC⊥AF

BB1⊥平面ABC,∴B1FAF

∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角

在Rt△B1BF中,∠B1BF=90°,B1B=a,BF=∴tan∠B1FB=∴∠B1FB=arctan                                                    …………8分

即二面β1-AF-B的大小為arctan

(3)∵B1F2=

B1F2+EF2=B1E2,∴B1FFE

AFBC,有AF⊥平面B1BCC1,即AF⊥平面B1EF

VF-B1AE=VA-B1EF=                           …………12分

(注:用向量解法可參照給分)

21.證:(1)設(shè)f(x)上任意兩點(diǎn),A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))不妨令x1>x2

f(x1)-f(x2)<x1-x2

f(x1)-x1<f(x2-x2)令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x+b

∵當(dāng)x1>x2時(shí)g(x1)<g(x2)

g(x)單調(diào)遞減                                                                           ……………6分

(2)∴g(x)單調(diào)遞減∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x2+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a2-12≤0

∴-a                                                                          ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2)  =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由橢圓定義知,M點(diǎn)軌跡是以(0,2)和(0,-2)為焦點(diǎn)的橢圓

                                                                                    ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在,設(shè)l:y=kx+3

 (3k2+4)x2+18kx-21=0                                               ……………8分

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

OAPB為平行四邊形

又∵

OAPB為矩形  ∴   ∴x1x2+y1y2=0

∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0

∴-(1+k2)?

k2=k經(jīng)檢驗(yàn)k合題意.

∴存在直線l:yx+3                                                                …………14分

 

 


同步練習(xí)冊(cè)答案