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等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn),;則的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為,拋物線的準(zhǔn)線為,由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得,所以雙曲線方程為,即,所以,所以實(shí)軸長(zhǎng),選C.
,,為常數(shù),離心率為的雙曲線:上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為,拋物線:的焦點(diǎn)與雙曲線的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)過直線:(為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)向拋物線引兩條切線,切點(diǎn)分別為、,坐標(biāo)原點(diǎn)恒在以為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程
第二問中,為,,,
故直線的方程為,即,
所以,同理可得:
借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即,是方程的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程
(Ⅱ)設(shè)為,,,
故直線的方程為,即,
所以,同理可得:,
即,是方程的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
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