題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設(shè)為橢圓上一點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),當(dāng)< 時,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
第一問中,利用
第二問中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的<不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
設(shè)橢圓 :()的一個頂點為,,分別是橢圓的左、右焦點,離心率 ,過橢圓右焦點 的直線 與橢圓 交于 , 兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。(1)中橢圓的頂點為,即又因為,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時,當(dāng)直線斜率不存在時,聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。
解:(1)橢圓的頂點為,即
,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時,經(jīng)檢驗不合題意. --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)存在直線為,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直線的方程為或
即或
以下命題中:①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣。②由的圖像向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖像。③在回歸直線方程中,當(dāng)變量x每增加一個單位時,變量增加0.2單位。④對分類變量X與Y,它們的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大。⑤設(shè),則“”是“”的充分而不必要條件。其中為真命題的個數(shù)有:
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
以下命題中:①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣。②由的圖像向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖像。③在回歸直線方程中,當(dāng)變量x每增加一個單位時,變量增加0.2單位。④對分類變量X與Y,它們的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大。⑤設(shè),則“”是“”的充分而不必要條件。其中為真命題的個數(shù)有:
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
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