如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值

（2）對(duì)一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）證明對(duì)一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

第二問中，，則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立， 

第三問中問題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

解：（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

                 …………4分

（2），則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

 

閱讀下面的文言文，完成下面5題。

李斯論  （清）姚鼐

蘇子瞻謂李斯以荀卿之學(xué)亂天下，是不然。秦之亂天下之法，無待于李斯，斯亦未嘗以其學(xué)事秦。

20070327

當(dāng)秦之中葉，孝公即位，得商鞅任之。商鞅教孝公燔《詩(shī)》、《書》，明法令，設(shè)告坐之過，而禁游宦之民。因秦國(guó)地形便利，用其法，富強(qiáng)數(shù)世，兼并諸侯，迄至始皇。始皇之時(shí)，一用商鞅成法而已，雖李斯助之，言其便利，益成秦亂，然使李斯不言其便，始皇固自為之而不厭。何也？秦之甘于刻薄而便于嚴(yán)法久矣，其后世所習(xí)以為善者也。斯逆探始皇、二世之心，非是不足以中侈君張吾之寵。是以盡舍其師荀卿之學(xué)，而為商鞅之學(xué)；掃去三代先王仁政，而一切取自恣肆以為治，焚《詩(shī)》、《書》，禁學(xué)士，滅三代法而尚督責(zé)，斯非行其學(xué)也，趨時(shí)而已。設(shè)所遭值非始皇、二世，斯之術(shù)將不出于此，非為仁也，亦以趨時(shí)而已。

君子之仕也，進(jìn)不隱賢；小人之仕也，無論所學(xué)識(shí)非也，即有學(xué)識(shí)甚當(dāng)，見其君國(guó)行事，悖謬無義，疾首嚬蹙于私家之居，而矜夸導(dǎo)譽(yù)于朝庭之上，知其不義而勸為之者，謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也；知其將喪國(guó)家而為之者，謂當(dāng)吾身容可以免也。且夫小人雖明知世之將亂，而終不以易目前之富貴，而以富貴之謀，貽天下之亂，固有終身安享榮樂，禍遺后人，而彼宴然^①無與者矣。嗟乎！秦未亡而斯先被五刑夷三族也，其天之誅惡人，亦有時(shí)而信也邪！

且夫人有為善而受教于人者矣，未聞為惡而必受教于人者也。荀卿述先王而頌言儒效，雖間有得失，而大體得治世之要。而蘇氏以李斯之害天下罪及于卿，不亦遠(yuǎn)乎？行其學(xué)而害秦者，商鞅也；舍其學(xué)而害秦者，李斯也。商君禁游宦，而李斯諫逐客^②，其始之不同術(shù)也，而卒出于同者，豈其本志哉！宋之世，王介甫以平生所學(xué)，建熙寧新法，其后章惇、曾布、張商英、蔡京之倫，曷嘗學(xué)介甫之學(xué)耶？而以介甫之政促亡宋，與李斯事頗相類。夫世言法術(shù)之學(xué)足亡人國(guó)，固也。吾謂人臣善探其君之隱，一以委曲變化從世好者，其為人尤可畏哉！尤可畏哉！

 [注釋]①宴然：安閑的樣子。②諫逐客：秦始皇曾發(fā)布逐客令，驅(qū)逐六國(guó)來到秦國(guó)做官的人，李斯寫了著名的《諫逐客書》，提出了反對(duì)意見。

對(duì)下列句子中加點(diǎn)的詞語的解釋，不正確的一項(xiàng)是（    ）

    A．非是不足以中侈君張吾之寵         中：符合

    B．滅三代法而尚督責(zé)                 尚：崇尚

    C．知其不義而勸為之者               勸：鼓勵(lì)

    D．而終不以易目前之富貴             易：交換

下列各組句子中，加點(diǎn)的詞的意義和用法相同的一組是（    ）

A．因秦國(guó)地形便利             不如因普遇之

    B．設(shè)所遭值非始皇、二世       非其身之所種則不食

    C．且夫小人雖明知世之將亂       臣死且不避，卮酒安足辭

    D．不亦遠(yuǎn)乎                     王之好樂甚，則齊國(guó)其庶幾乎

下列各項(xiàng)中，加點(diǎn)詞語與現(xiàn)代漢語意義不相同的一項(xiàng)是（    ）

    A．小人之仕也，無論所學(xué)識(shí)非也

    B．而大體得治世之要

C．而以富貴之謀，貽天下之亂

    D．一以委曲變化從世好者

下列各句中對(duì)文章的闡述，不正確的一項(xiàng)是（    ）

A．蘇軾認(rèn)為李斯以荀卿之學(xué)輔佐秦朝行暴政，致使天下大亂，作者則認(rèn)為李斯是完全舍棄了荀子的說學(xué)，李斯的做法只不過是追隨時(shí)勢(shì)罷了。

B．作者由論李斯事秦進(jìn)而泛論人臣事君的問題，強(qiáng)調(diào)為臣者對(duì)于國(guó)君的“悖謬無義”之政，不應(yīng)為自身的富貴而阿附甚至助長(zhǎng)之。

C．此文主旨在于指出秦行暴政是君王自身的原因，作者所論的不可“趨時(shí)”，“中侈君張吾之寵”的道理，在今天仍有借鑒意義。

D．文章開門見山，擺出蘇軾的觀點(diǎn)，然后通過對(duì)秦國(guó)發(fā)展歷史的分析，駁斥了蘇說的謬論，提出了自己的見解。論證嚴(yán)密，逐層深入，是一篇典范的史論。

把文言文閱讀材料中畫橫線的句子翻譯成現(xiàn)代漢語。

   （1）秦之甘于刻薄而便于嚴(yán)法久矣

譯文：                                                                    

   （2）謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也

譯文：                                                                   

   （3）其始之不同術(shù)也，而卒出于同者，豈其本志哉

譯文：