題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在上的最大值為,求的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為(0,2),.
當(dāng)a=1時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
第二問中,利用當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域為(0,2),.
(1)當(dāng)時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
已知函數(shù).()
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進而得到范圍;第二問中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)時,,故. …………5分
所以. …………6分
(2)令,定義域為.
在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令,得極值點,,
當(dāng),即時,在(,+∞)上有,此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
當(dāng),即時,同理可知,在區(qū)間上遞增,
有,也不合題意; …………11分
② 若,則有,此時在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
由此求得的范圍是. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒在直線下方.
已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實數(shù)a和b的值;
(2)若a<0,且對任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.
【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二問中,利用當(dāng)a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)當(dāng)a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0時恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范圍是
已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3與y=-3在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,記F(x)為“f(|x|)”與“-3”兩者中的較小者,且當(dāng)f(|x|)=-3時,F(xiàn)(x)=-3.有以下四種關(guān)于函數(shù)y=F(x)的說法:
①F(4)<F(-5);
②F(-1)是y=F(x)的最小值;
③方程F(x)=0有兩個實數(shù)根;
④y=F(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減.
其中真命題的個數(shù)為
A.0
B.1
C.2
D.3
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