如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱DD₁的中點．
（Ⅰ）判斷BD₁和過A，C，E三點的平面的位置關系，并證明你的結論；
（II）求△ACE的面積．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E，F分別為棱BC，DD₁上的點，給出下列命題：
①在平面ABF內總存在與直線B₁E平行的直線；
②若B₁E⊥平面ABF，則CE與DF的長度之和為2；
③存在點F使二面角B₁-AC-F的大小為45°；
④記A₁A與平面ABF所成的角為α，BC與平面ABF所成的角為β，則α+β的大小與點F的位置無關．
其中真命題的序號是． （寫出所有真命題的序號）

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱CC₁的中點．
（1）求AD₁與DB所成角的大��；
（2）求證DB⊥平面AEA₁．