題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。
已知函數(shù)的反函數(shù)。定義:若對給定的實(shí)數(shù),函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”。
(1) 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2) 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3) 設(shè)函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”。求的表達(dá)式。
(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,
第3小題滿分7分.
已知雙曲線.
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)是雙曲線上的點(diǎn),是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
記.求的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,為雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).記為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)的直線,為截直線所得線段的長.試將表示為直線的斜率的函數(shù).
(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分、第3小題滿分6分.
設(shè),常數(shù),定義運(yùn)算“”:,定義運(yùn)算“”: ;對于兩點(diǎn)、,定義.
(1)若,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡;
(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點(diǎn),若,試求的值;
(3)在(2)中條件下,若直線不過原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)S,與軸交于點(diǎn)T,并且與(1)中軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q , 試求的取值范圍.
(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知函數(shù)的反函數(shù).定義:若對給定的實(shí)數(shù),函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”.
(1) 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2) 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3) 設(shè)函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”.求的表達(dá)式.
(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分。
已知雙曲線C的中心是原點(diǎn),右焦點(diǎn)為F,一條漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方向向量。
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過原點(diǎn)的直線,且a與l的距離為,求K的值;
(3)證明:當(dāng)時(shí),在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線l的距離為。
一. 填空題(每題4分,共48分)
1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理、文7; 7. 理
二.選擇題(每題4分,共16分)
13.D; 14.B; 15.C; 16.理B、文B.
三. 解答題. 17.(本題滿分12分)解:由已知得 (3分)
∴, ∴ (6分)
∴ 又,即,∴ (9分)
∴的面積S=. (12分)
18.(本題滿分12分)解:∵,∴ (5分)
∵,欲使是純虛數(shù),
而=
(7分)
∴, 即
(11分)
∴當(dāng)時(shí),是純虛數(shù).
(12分)
19.(本題滿分14分,第1小題滿分9分,第2小題滿分5分)
解:(1)依題意設(shè),則, (2分)
(4分) 而,
∴,即, (6分) ∴ (7分)
從而. (9分)
(2)平面,
∴直線到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離 (2分)
也就是的斜邊上的高,為. (5分)
20.(本題滿分14分,第1小題滿分8分,第2小題滿分6分)
解:(1)不正確.
(2分)
沒有考慮到還可以小于.
(3分)
正確解答如下:
令,則,
當(dāng)時(shí),,即
(5分)
當(dāng)時(shí),,即
(7分)
∴或,即既無最大值,也無最小值.
(8分)
(2)(理)對于函數(shù),令
①當(dāng)時(shí),有最小值,,
(9分)
當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),即
∴或,即既無最大值,也無最小值.
(10分)
②當(dāng)時(shí),有最小值,,
此時(shí),,∴,即,既無最大值,也無最小值 .(11分)
③當(dāng)時(shí),有最小值,,即 (12分)
∴,即,
∴當(dāng)時(shí),有最大值,沒有最小值.
(13分)
∴當(dāng)時(shí),既無最大值,也無最小值。
當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí);沒有最小值.
(14分)
(文)∵, ∴ (12分)
∴函數(shù)的最大值為(當(dāng)時(shí))而無最小值. (14分)
21.(本滿分16分,第1、2小題滿分各4分,第3小題滿分8分)
解:(1) (4分)
(2)由解得 (7分)
所以第個(gè)月更換刀具. (8分)
(3)第個(gè)月產(chǎn)生的利潤是: (9分)
個(gè)月的總利潤:(11分)
個(gè)月的平均利潤: (13分)
由 且
在第7個(gè)月更換刀具,可使這7個(gè)月的平均利潤最大(13.21萬元) (14分)此時(shí)刀具厚度為(mm) (16分)
22.(本題滿分18分,第1、2小題滿分各4分,第3小題滿分10分)
解:(1) (4分)
(2)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)為: (8分)
(3)過作斜率為的直線交拋物線于另一點(diǎn), (9分)
則一般性的結(jié)論可以是:
點(diǎn) 的相鄰橫坐標(biāo)之和構(gòu)成以為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列(或:點(diǎn)無限趨向于某一定點(diǎn),且其橫(縱)坐標(biāo)之差成等比數(shù)列;或:無限趨向于某一定點(diǎn),且其橫(縱)坐標(biāo)之差成等比數(shù)列,等)(12分)
證明:設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)由
得或;
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則 (14分)
于是兩式相減得: (16分)
=
故點(diǎn)無限逼近于點(diǎn)
同理無限逼近于點(diǎn) (18分)
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