18.[解]連結(jié)BD.因為B1B⊥平面ABCD.B1D⊥BC.所以BC⊥BD.又因為直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°.所以 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,在四棱錐S-ABCD中,∠ADB=90°,AD=BD=1,SA⊥平面ABCD,∠ASB=30°,E、F分別是SD、SC上的動點,M、N分別是SB、SC上的動點,且
SE
SD
=
SF
SC
=λ,
SM
SB
=
SN
SC

(I)當(dāng)λ,μ有何關(guān)系時,ME⊥平面SAD?并證明你的結(jié)論;
(II)在(I)的條件下且μ=
1
2
時,求三棱錐S-AME的體積.

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如圖,菱形ABCD中,∠DAB=,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD,PO=AD=,點E在PD上,PE:ED=3:1.

(Ⅰ)證明:PD⊥平面EAC;

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值;

(Ⅲ)求點B到平面PDC的距離.

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如圖,菱形ABCD中,∠DAB=60°,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD,PO=AO=,點E在PD上,PE:ED=3:1.

(Ⅰ)證明:PD上平面置EAC;

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值;

(Ⅲ)求點B到平面PDC的距離.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

 

【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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把正方形ABCD沿其對角線AC折成二面角DACB后,連結(jié)BD,得到如圖所示的幾何體,已知點O、E、F分別為線段AC、AD、BC的中點。

(I)求證:AB//平面EOF;

(II)求二面角EOFB的大小。

 

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