題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時,,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,,令得
當(dāng)變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;
當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。
綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
f(x) |
x |
f(x) |
x2 |
x | a | b | c | a+b+c |
f(x) | d | d | t | 4 |
已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在上為增函數(shù),則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù),若且,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說明理由.
已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在上為增函數(shù),則稱為“二階比增函數(shù)”.
我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù),若且,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出,
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求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說明理由.
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