題目列表(包括答案和解析)
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一、選擇題:
1. C 2. C 3. B 4.C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A 11. C 12. C
二、填空題:
13. 85,1.6 14. 800 15. 16.
三、解答題:
17.解: (1)………………………1分
,
化簡得…………………………3分
(2))
令Z),函數(shù)f(α)的對稱軸方程為
Z).………………………………………………………12分
18. 解:(1)從盒中同時摸出兩個球,有種可能情況,…………2分
摸出兩球顏色恰好相同即兩個黑球或兩個白球,有1+種情況,……4分
故所求概率是………………………………………………………………6分
(2)從盒中摸出一個球,放回后再摸出一個球,共有5×5=25種情況,……8分
若兩球顏色不同,即“先黑后白”或“先白后黑”,共有2×3+3×2=12種可能情況,故所求概率是………………………………………………………………………12分
(本題也可一一列出基本事件空間后求解)
19.解:(1)an+1+an=3n-54, an+2+an+1=3(n+1)-54.
兩式相減得an+2-an=3(n∈N*),
∴數(shù)列a1,a3,a5,……, a2, a4, a6, …都是公差為3的等差數(shù)列.……………………1分
a1=-27, a1+a2==-51, a2=-24。采用疊加法可得,
當(dāng)n為奇數(shù)時,an=;…………………………3分
當(dāng)n為偶數(shù)時,an=……………………………5分
∴an=………………………………6分
(2)因為n為偶數(shù),所以
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)…………………………8分
=(3×1-54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]
=…………………………………………10分
若n為偶數(shù),當(dāng)n=18時,Sn取到最小值-243.……………………12分
20. (1)證明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.……2分
又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.……4分
(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.
又PC⊥AD,∴AD⊥平面PAC,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,
∴∠DCA=∠BAC=.
又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形。
∴DC=2AB,
……………………8分
(3)連結(jié)BD,交AC于點M,連結(jié)EM,則
在△BPD中,∴PD∥EM.
又PD平面EAC,EM平面EAC,
∴PD∥平面EAC.……………………(12分)
21.解:(1)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),
將y=k(x+1)代入x2+3y2=5, 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.………2分
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0恒成立,
設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), 則x1+x2=,………………………………4分
由線段AB中點的橫坐標是,
得解得k=±.……………………5分
所以直線AB的方程為或……………………6分
(2)假設(shè)在x軸上存在點M(m, 0),使為常數(shù).
由(1)知x1+x2=①
所以
=
=……………………8分
將①代入上式,整理得,
∴
∵
綜上,在x軸上存在定點M,使為常數(shù)……………………12分
22.解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=,
令f′(x)=0,得x=e1-a.……………………3分
當(dāng)x∈(0, e1-a)時,f′(x)>0,f(x)在(0, e1-a)內(nèi)是單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e1-a,+∞)時,f′(x)<0,f(x)在(e1-a,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞減.…………………………6分
∴f(x)在x=e1-a處取得極大值f(e1-a)=ea-1.………………8分
(2)∵a>0, ∴e1-a<e2,∴[f(x)]max=f(e1-a)=ea-1,………………10分
∴f(x)的圖象g(x)=1的圖象在(0,e2]上有公共點,等價于ea-1≥1,……………12分
兩邊以e底取對數(shù)可解得a≥1,故a的取值范圍是[1,+∞)……………………14分
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