題目列表(包括答案和解析)
(15)(本小題滿分12分)
記函數(shù)的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)的定義域?yàn)榧?sub>.求
(Ⅰ)集合M,;
(Ⅱ)集合.
(16)(本小題滿分14分)
如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,過(guò)其中心G作BC邊的平行線,分別交AB,AC于.將沿折起到的位置,使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M.求
(Ⅰ)二面角的大。
(Ⅱ)異面直線與所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).
(17)(本小題滿分14分)
已知是等比數(shù)列,;是等差數(shù)列,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式;
(Ⅲ)設(shè),
其中n=1,2,…,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論
(18)(本小題滿分14分)
如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線在軸和軸上的截距分別是和(),且交拋物線于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫出直線的截距式方程;
(Ⅱ)證明:
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求的大小
(19)(本小題滿分13分)
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某公路段汽車的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度/(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為
(Ⅰ)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少? (精確到0.1千輛/小時(shí))
(Ⅱ)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(20)(本小題滿分13分)
現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù):其中.為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo),今對(duì)其進(jìn)行如下加工:記,,作函數(shù),使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)設(shè)的斜率為,判斷的大小關(guān)系;
(Ⅲ)證明:當(dāng)時(shí),;
(Ⅳ)求由函數(shù)y=x與的圖象所圍成圖形的面積(用表示).
(9) .
(10)已知,那么的值為 ,的值為 .
(11)若圓與直線相切,且其圓心在軸的左側(cè),則m的值為 .
(12)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為.將該正方體沿對(duì)角面切成兩塊,再將這兩塊拼接成一個(gè)不是正方體的四棱柱,那么所得四棱柱的全面積為 .
(13)從-1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù),可組成不同的二次函數(shù)共有 個(gè),其中不同的偶函數(shù)共有 個(gè)(用數(shù)字作答).
(14)若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)效的取值范圍是 ;若關(guān)于的不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
(1)的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
(2)函數(shù)的圖象是
(3)有如下三個(gè)命題:
①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線-定是異面直線;
②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線;
③過(guò)平面。的一條斜線有一個(gè)平面與平面。垂直.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)如果函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí)取得最大值,那么
A. B. C. D.
(5)設(shè).“”是“曲線為橢圓”的
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
(6)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,是此雙曲線上的一點(diǎn),且,,則該雙曲線的方程是
A. B. C. D.
(7)在中,已知,那么一定是
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
(8)若不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
(15)(本小題滿分12分)
記函數(shù)的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)的定義域?yàn)榧?sub>.求
(Ⅰ)集合M,;
(Ⅱ)集合.
(16)(本小題滿分14分)
如果正三棱錐S-ABC中,底面的邊長(zhǎng)為3,棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍,M是BC的中點(diǎn)。求
(Ⅰ)的值 (Ⅱ)二面角的大;
(Ⅲ)正三棱錐S-ABC的體積.
(17)(本小題滿分14分)
已知是等比數(shù)列,;是等差數(shù)列,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和的公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè),其中n=1,2,…,求的值
(18)(本小題滿分14分)
如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫出直線的方程;
(Ⅱ)求與的值
(Ⅲ)求證:
(19)(本小題滿分13分)
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某公路段汽車的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度/(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為
(Ⅰ)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少? (精確到0.1千輛/小時(shí))
(Ⅱ)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(20)(本小題滿分13分)
現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù):其中.為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo),今對(duì)其進(jìn)行如下加工:記,,作函數(shù),使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)設(shè)的斜率為,判斷的大小關(guān)系;
(Ⅲ)證明:;
(Ⅳ)求由函數(shù)y=x與的圖象所圍成圖形的面積(用表示).
(9) .
(10)橢圓的離心率是 ,準(zhǔn)線方程是 。
(11)已知,那么的值為 ,的值為 .
(12)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為.將該正方體沿對(duì)角面切成兩塊,再將這兩塊拼接成一個(gè)不是正方體的四棱柱,那么所得四棱柱的全面積為 .
(13)從-1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù),可組成不同的二次函數(shù)共有 個(gè),其中不同的偶函數(shù)共有 個(gè)(用數(shù)字作答).
(14)若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)效的取值范圍是 ;
(1)的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
(2)函數(shù)的圖象是
(3)下列命題中,正確的是:
A.經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 B.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線-定是異面直線 C.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線 D.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行
(4)如果函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí)取得最大值,那么
A. B. C. D.
(5) “”是“曲線為雙曲線”的
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
(6)直線被圓所截得的線段的長(zhǎng)為
A.1 B. C. D. 2
(7)在中,已知,那么一定是
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
(8)若不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
(17)(本小題滿分12分)
解不等式:.
(18)(本小題滿分12分)
已知函數(shù),求f(x)的定義域,判斷它的奇偶性,并求其值域.
(19)(本小題滿分12分)
如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為4.E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d;
(Ⅲ)求三棱錐B1-EFD1的體積V.
(20)(本小題滿分12分)
某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)需50元.
(Ⅰ)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車?
(Ⅱ)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
(21)(本小題滿分13分)
如圖,在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中,圓O1為△ABC的內(nèi)切圓,圓O2與圓O1外切,且與AB,BC相切,…,圓On+1與圓On外切,且與AB,BC相切,如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an(n∈N).
(Ⅰ)證明{an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求的值.
(22)(本小題滿分13分)
已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點(diǎn)C在l上.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為的直線與曲線M相交于A,B兩點(diǎn).
(ⅰ)問(wèn):△ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不能,說(shuō)明理由;
(ⅱ)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
普通高等學(xué)校春季招生考試
(13)如圖,一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的
水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球,水面高度恰好升
高r,則____________.
(14)在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中,自測(cè)血壓結(jié)果與相
應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白(____)內(nèi).
年齡(歲) |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
收縮壓(水銀柱 毫米) |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
(___) |
145 |
舒張壓(水銀柱 毫米) |
70 |
73 |
75 |
78 |
80 |
83 |
(___) |
88 |
(15)如圖,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P
在橢圓上△POF2是面積為的正三角形,則b2的值是
_________________.
(16)若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)f(x)滿足(x∈R),則f(x)的一個(gè)正周期為_____________.
(1)若集合M={y | y=2-x},,則
(2)若,則方程f(4x)=x的根是
(A) (B) (C) (D)-2
(3)設(shè)復(fù)數(shù)z1=-1+i,,則
(A) (B) (C) (D)
(4)函數(shù)的最大值是
(A) (B) (C) (D)
(5)在同一坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)的曲線大致是
(6)若A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且A<B<C(),則下列結(jié)論中正確的是
(A)sinA<sinC (B)cosA<cosC
(C)tanA<tanC (D)cotA<cotC
(7)橢圓(j為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(A)(0,0),(0,-8) (B)(0,0),(-8,0)
(C)(0,0),(0,8) (D)(0,0),(8,0)
(8)如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點(diǎn), G,
H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE,EF,
DF折成三棱錐以后,GH與IJ所成角的度數(shù)為
(A)90° (B)60° (C)45° (D)0°
(9)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為
(A)42 (B)30 (C)20 (D)12
(10)已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切,則三條邊長(zhǎng)分別為| a |,| b |,| c |的三角形
(A)是銳角三角形 (B)是直角三角形
(C)是鈍角三角形 (D)不存在
(11)若不等式| ax+2 | < 6的解集為(-1,2),則實(shí)數(shù)a等于
(A)8 (B)2 (C)-4 (D)-8
(12)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0,y=0,2x+3y=30,則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)是
(A)95 (B)91
(C)88 (D)75
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
(六)二項(xiàng)式定理
內(nèi)容:1 的展開式、項(xiàng)數(shù)、的指數(shù)。
2 展開式中的通項(xiàng)公式
3 各項(xiàng)系數(shù)和的求法及各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和的求法。
4 二項(xiàng)式系數(shù)最要的項(xiàng),是第幾項(xiàng)?(由n的奇偶性討論)
5 注意展開式的逆用。
6 用二項(xiàng)式定理求近似值;證明整除問(wèn)題。
例7 已知的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列.
① 求展開式里所有的x的有理項(xiàng);
② 求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
評(píng)析 (1) 把握住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外,還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì).
(2) 應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開的特定項(xiàng),如求某一項(xiàng),含x某次冪的項(xiàng),常數(shù)項(xiàng),有理項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)等,一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程,在求得n或r后,再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系).
(3) 注意區(qū)分展開式“第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r+1項(xiàng)的系數(shù)”.
例8 (’96 全國(guó))某地現(xiàn)有耕地1000公頃.規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長(zhǎng)率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)?
解 設(shè)耕地平均每年至少只能減少x公頃,又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人,糧食單產(chǎn)為M頃.
答:按規(guī)劃該地區(qū)耕地每年至多只能減少4公頃.
評(píng)析 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用十分廣泛,主要有以下四個(gè)方面:求展開式的特定項(xiàng);近似計(jì)算;證明整除性和不等式;證明組合數(shù)等式或求和.本例的最后運(yùn)用了二項(xiàng)展開式進(jìn)行近似計(jì)算.
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