(三)兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角，兩條直線的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離

說(shuō)明　 這部分內(nèi)容近年高考在填空、選擇及解答題中都�？疾榈�.

使用公式求l₁到l₂的角時(shí)，應(yīng)注意k₁、k₂的順序.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程中不 包括直線l₂.

例3　 光線由點(diǎn)(-1，4)射出，遇直線2x+3y-6=0被反射，已知反射光線過(guò)點(diǎn)(3 ，).求反射光線所在直線方程.

解：　 設(shè)(-1，4)點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱點(diǎn)為(x′，y′).

則點(diǎn)(-1，4)與點(diǎn)(x′，y′)的連線段被已知直線垂直平分，故可得　 解得，再由兩點(diǎn)式可得所求直線方程為13x-26y+85=0.

(二)直線方程，直線的斜率，直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程，直線方程的一 般形式

例2　 直線xcosα-y+1＝0的傾斜角的變化范圍是　　　　　　　　　　　 .

解　 直線方程化為斜截式y(tǒng)=cosα·x+1，故k=cosα，

又-1≤k≤1，故傾角所取范圍是［0，］和［，π］。

(一)有向線段、兩點(diǎn)間距離、線段的定比分點(diǎn)

例1　 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分線的長(zhǎng).

解：　 由兩點(diǎn)距離公式求得│AB│=5，│AC│=10，設(shè)角平分線交BC于D(x，y)，由角平分線性質(zhì)得λ=，從而求得D(，)，故可得│AD│=.

5.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線一定是一條與已知直線平行的直線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

直線Ax+By+C=0關(guān)于點(diǎn)P(x₀,y₀)的對(duì)稱直線方程是

A(2x₀-x)+B(2y₀-y)+C=0

即　　　　 　　　　　　　　　Ax+By-(2Ax₀+2By₀+C)=0.

“直線關(guān)于直線”對(duì)稱

(1)幾種特殊位置的對(duì)稱

已知曲線f(x,y)=0，則它：

①關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線是f(x,-y)=0；

②關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線是f(-x,y)=0；

③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線是f(-x,-y)=0；

④關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線f(y,x)=0；

⑤關(guān)于直線線y=-x對(duì)稱的曲線

f(-y,-x)=0；

⑥關(guān)于直線x=a對(duì)稱的曲線是

f(2a-x,y)=0；

⑦關(guān)于直線y=b對(duì)稱的曲線是

f(x,2b-y)=0

4.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x₀,y₀)在直線Ax+By+C=0上的充要條件是

Ax₀+By₀+C=0.

點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)P(x₀,y₀)到直線Ax+By+C=0的距離是

d=

據(jù)此可推出：

(1)兩平行線間的距離公式

兩平行直線Ax+By+C₁=0和Ax+By+C₂=0間的距離為

d=.

3.直線的方程

直線方程的幾種形式

名稱	已知條件	方程	說(shuō)明
斜截式	斜率k縱截距b	y=kx+bx	不包括y軸和平行于y軸的直線
點(diǎn)斜式	點(diǎn)P 1(x1,y1)斜率k	y-y1=k(x-x1)	不包括y軸和平行于y軸的直線
兩點(diǎn)式	點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)		不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線
截距式	橫截距a縱坐標(biāo)b	=1	不包括坐標(biāo)軸，平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式	-	Ax+By+C=0	A、B不同時(shí)為0

兩條直線的位置關(guān)系

當(dāng)直線不平行于坐標(biāo)軸時(shí)：

(1)直線l₁到l₂的角　 直線l₁依逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與l₂重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l₁ 到l₂的角.

計(jì)算公式

設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別是k₁，k₂，則

tgθ=　　　 (k₁k₂≠-1)

(2)兩條直線的夾角一條直線到另一條直線的角小于直角的角，即兩條直線所成的銳角叫做兩條直線所成的角，簡(jiǎn)稱夾角.這時(shí)的計(jì)算公式為：tgθ=

2.線段的定比分點(diǎn)

有向直線l上的一點(diǎn)P，把l上的有向線段分成兩條有向線段分成兩條有向線段，則和的數(shù)量之比

λ=

定比分點(diǎn)公式　 若P₁、P₂兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x₁,y₁)，(x₂,y₂),點(diǎn)P(x,y)分有向線段成定比

λ= (λ≠-1)，

則P點(diǎn)坐標(biāo)

x=，　　 y=.

(1).中點(diǎn)公式　 設(shè)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)，則P₁P₂的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)是

x=,　　 y=.

(2)三角形的重心公式　 若△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y ₃)，則△ABC的重心G(x,y)的坐標(biāo)是

x=，　　　 y=

1.有向線段

一條有向線段的長(zhǎng)度，連同表示它的方向的正負(fù)號(hào)，叫做有向線段的數(shù)量.有向線段的數(shù)量用AB表示.

若有向線段在數(shù)軸上的坐標(biāo)為A(x₁)，B(x₂)，則

它的數(shù)量　　 AB=x₂-x₁

它的長(zhǎng)度　　 ｜AB｜=｜x₂-x₁｜

平面上兩點(diǎn)間的距離　 設(shè)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是坐標(biāo)平面上的任意兩點(diǎn)，則 它們的距離

｜P₁P₂｜=

當(dāng)P₁P₂⊥Ox軸時(shí)，｜P₁P₂｜=｜y₂-y₁｜；當(dāng)P₁P₂⊥Oy軸時(shí)，｜P₁P₂｜ =｜x₂-x₁｜；點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離，｜OP｜=.

三角形的中線長(zhǎng)公式

如圖，AO是△ABC的BC邊上的中線.則｜AB｜²+｜AC｜²

=2［｜AO｜²+｜OC｜²］

3.掌握兩條直線平行與垂直的條件.能夠根據(jù)直線的方程判定兩條直線的位置關(guān)系.會(huì)求兩條 直線的夾角和交點(diǎn).掌握點(diǎn)到直線的距離公式.

2.理解直線斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率的公式，熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式，掌 握直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式、截距式以及直線的一般式.能夠根據(jù)條件求出直線的方程.