6．(1)將條件變形.得. 于是.有 ---- . 將這n-1個(gè)不等式疊加.得 故 (2)注意到.于是由(1)得 . 從而.有 第三講 三角函數(shù) 陜西特級(jí)教師 安振平 l 高考風(fēng)向標(biāo) 主要考查三角函數(shù)的定義.三角函數(shù)的符號(hào).同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式.兩角和與差的三角函數(shù).二倍角的正弦.余弦.正切公式.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).包括周期性.奇偶性.單調(diào)性.和最值性． l 典型題選講 例1 (1)已知: (2)已知:的值. 點(diǎn)評(píng) 三角問(wèn)題的解決.變形是多途徑的．例如:題1也可以逆向考慮.事實(shí)上 例2 已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為． (1)右圖是(ω＞0.) 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 的解析式, (2)如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi).電流都能取得最大值和最小值.那么ω的最小正整數(shù)值是多少? 講解 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力． (1)由圖可知 A＝300． 設(shè)t1＝-.t2＝. 則周期T＝2(t2-t1)＝2(+)＝． ∴ ω＝＝150π． 又當(dāng)t＝時(shí).I＝0.即sin(150π·+)＝0. 而. ∴ ＝． 故所求的解析式為． (2)依題意.周期T≤.即≤.(ω>0) ∴ ω≥300π＞942.又ω∈N*. 故最小正整數(shù)ω＝943． 點(diǎn)評(píng) 本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．其中.讀圖.識(shí)圖.用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑． 例3 已知函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)a.b的值, (2)求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x的值. (1)函數(shù) 講解 學(xué)會(huì)翻譯.逐步展開解題思維． 時(shí).函數(shù)f(x)的最大值為12. 點(diǎn)評(píng) 結(jié)論是歷年高考命題的熱點(diǎn)之一． 例4 已知tan2θ＝-2.π＜2θ＜2π.求. 講解 解題目標(biāo)中含有角.可向角轉(zhuǎn)化.以便出現(xiàn),而條件中的可向轉(zhuǎn)化. 這樣.就消除了解題目標(biāo)與解題條件之間中的差異．事實(shí)上 原式＝ ＝ ＝ . 由 tan2θ＝. 解得 tanθ＝-或tanθ＝. ∵π＜2θ＜2π.∴＜θ＜π. ∴tanθ＝- . ∴原式＝＝3+2． 點(diǎn)評(píng) 差異分析.有時(shí)需要從條件和解題目標(biāo)兩個(gè)方向同時(shí)進(jìn)行分析.這種相向而行的思維方式.可以快速聯(lián)結(jié)解題的思維線路. 例5 在中....求的值和的面積． 講解 本題是2004年北京高考試題.下面給出兩種解法． 法一 先解三角方程.求出角A的值． 又, . 法二 由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值． ① , . ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 從而 ．以下解法略去． 點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查三角恒等變形.三角形面積公式等基本知識(shí).著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力.是一道三角的基礎(chǔ)試題．兩種解法比較起來(lái).你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢? 例6 設(shè)函數(shù)f(x)=a·b.其中向量a=(2cosx.1).b=(cosx. sin2x).x∈R. (1)若f(x)=1-且x∈[-.].求x, (2)若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m.n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象.求實(shí)數(shù)m.n的值. 講解 (1)依題設(shè)可知.函數(shù)的解析式為 f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1-.可得三角方程 sin(2 x +)=-． ∵-≤x≤. ∴-≤2x+≤. ∴2x+=-.即x=-． (2)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m.n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x-m)+n的圖象.即函數(shù)y=f(x)的圖象. 由(1)得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<.∴. 點(diǎn)評(píng) 本小題是2004年福建高考試題.主要考查平面向量的概念和計(jì)算.三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能.著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)之一． 例7 已知向量m=(1,1).向量n與向量m夾角為.且m·n=-1. (1)求向量n, (2)若向量n與向量q=(1.0)的夾角為.向量p=.其中A.C為△ABC的內(nèi)角.且A.B.C依次成等差數(shù)列．求|n+p|的取值范圍． 講解 (1)設(shè)① 與夾角為.有·=||·||·.② 由①②解得 (2)由垂直知. 由2B=A+C 知B= .A+C= 若 點(diǎn)評(píng) 本題的特色是將向量與三角綜合.體現(xiàn)了知識(shí)的交匯性．解題后.請(qǐng)你反思:解題思維的入手點(diǎn).解題思維的障礙點(diǎn).解題思維的開竅點(diǎn).只有這樣的反思訓(xùn)練.請(qǐng)相信.你就會(huì)慢慢成為解題高手的． 例8 如圖.某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地.△ABC外的地方種草.△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池.其余的地方種花.若BC=a.∠ABC=.設(shè)△ABC的面積為S1.正方形的面積為S2． (1)用a.表示S1和S2, (2)當(dāng)a固定.變化時(shí).求取最小值時(shí)的角． 講解 (1)∵ ∴ 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x. 則BQ= (2)當(dāng)固定.變化時(shí). 令 令 任取.且. ． . 是減函數(shù)． 取最小值.此時(shí) 點(diǎn)評(píng) 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用.本題就是一個(gè)典型的范例．通過(guò)引入角度.將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言.再通過(guò)局部的換元.又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)．這些解題思維的拐點(diǎn).你能否很快的想到呢? l 針對(duì)性演練 【查看更多】

 

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