(二)空間直線和平面 例15 如果直線l是平面α的斜線.那么在平面α內(nèi)( ) A.不存在與l平行的直線 B.不存在與l垂直的直線 C.與l垂直的直線只有一條 D.與l平行的直線有無窮多條 解 A正確.若存在l′α且l′∥l.那么.或者l∥α或者lα.均與“l(fā)是 α的斜線 矛盾 由A.正確D.錯誤 由三垂線定理知.B.C均不正確. 例16 如圖(1).ABCD是正方形.E是AB中點.如 將△DAE和△CBE分別沿虛線DE和CE折起.使AE與BE重合.記A與B重合后的點為P.則面PCD與 面ECD所成的二面角為 度. 解:在圖(2)上作PH⊥CD于H.設(shè)正方形ABCD的邊長1. 易知PD＝l.PC＝l.∴H為DC中點. 又ED＝EC. ∴EH⊥DC于H. 設(shè)∠PHE＝θ.則θ為面PCD與面ECD所成二面角的大小. 在△PDC中.由PD＝PC＝DC＝l.得PH＝. 在△EDC中.由EH＝ ＝＝l. 又P是A.B重合的點.故PE＝AE＝. 用余弦定理于△PHE.有 cosθ＝cos∠PHE＝ ＝. 由于θ∈.得θ＝30°. 應(yīng)填30°. 例17 已知:如圖.平面α∩平面β＝直線a.α .β同時垂直于平面 r.又同時平行于直線b. 求證:b⊥γ. 證明:(1)設(shè)α∩γ＝m.β∩γ＝n. 在直線a上任選不在平面γ上的點A.作AO⊥m于O.AO′⊥n于O′. ∵AOα.α⊥γ且α∩γ＝m.AO⊥m. ∴AO⊥γ(兩面垂直.則在其中一個平面上且垂直于交線的直線必垂直于另一個面).同理AO ′⊥γ. 但平面γ外的點A在平面γ的射影唯一. ∴O和O′重合于m.n的交點. 即直線a⊥平面γ. (2)∵b∥平面α. ∴存在b′α.b′≠a,滿足b∥b′. 又b∥β.從而b′∥β. 因為平面α過b′且交平面β于a. ∴b′∥a.從而b∥a. 由a⊥γ.得b⊥γ. 例18 如果直線l.m與平面α.β.γ滿足:l＝β∩ r.l∥α .mα.和m⊥γ.那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 解:∵mα.m⊥γ. ∴γ⊥α. ∵lγ.m⊥γ. ∴m⊥l. 即在題設(shè)的條件下必有γ⊥α且l⊥m. 應(yīng)選A. 例19 如圖1-37.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.E ∈BB1.截面A1EC⊥側(cè)面AC1. (1)求證:BE＝EB1, (2)若AA1＝A1B1.求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角的度數(shù) . 注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容.使之成為(1)的完成證明.并解答(2). 證明:在截面A1EC內(nèi).過E作EG⊥A1C.G是垂足. (Ⅰ)∵ ∴EG⊥側(cè)面AC1.取AC的中點F.連結(jié)BF.FG.由AB＝BC得BF⊥FC. (Ⅱ)∵ ∴BF⊥側(cè)面AC1.得BF∥EG.BF.EG確定一個平面.交側(cè)面AC1于FC. (Ⅲ)∵ ∴BF∥EG.四邊形BEGF是平行四邊形.BE＝FG. (Ⅳ)∵ ∴FG∥AA1.ΔAA1C∽ΔFGC. (Ⅴ)∵ ∴FG=AA1＝BB1.即BE=BB1.故BE＝EB1. 解:∵面A1EC⊥側(cè)面AC1. (Ⅱ)∵而面ABC⊥側(cè)面AC1. (Ⅲ)∵BE∥側(cè)面AC1. (Ⅳ)∵BE∥AA1. (Ⅴ)∵AF＝FC. (2)分別延長CE.C1B1交于點D.連結(jié)A1D. ∵EB1∥CC1.EB1＝BB1＝CC1. ∴DB1＝DC1＝B1C1＝A1B1. ∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60° ∠DA1B1＝∠A1DB1＝ (180°-∠DB1A1)＝30° 即DA1⊥A1C1 ∵CC1⊥面A1C1B1.即A1C1在平面A1C1D上的射影.根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C. ∴∠CA1C是所求二面角的平面角. ∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1.∠A1C1C＝90°. ∴∠CA1C1＝45°.即所求二面角為45°. 例20 在空間中.下列命題成立的是( ) A.過平面α外的兩點.必有且只有一個平面與平面α垂直 B.若直線l上有兩點到平面α的距離相等.則直線l必平行于平面α C.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)多條直線垂直.則直線l必垂直于平面α D.互相平行的兩條直線在一個平面內(nèi)的射影仍然是互相平行的兩條直線 E.若點P到三角形的三條邊的距離相等.則點P在該三角形所在平面內(nèi)的射影必然是該三角形的內(nèi)心 解:A不正確.若平面α外的兩點A.B使直線AB⊥α.則過A.B兩點且與α垂 直的平面有無數(shù)多個. B不正確.設(shè)l和α交于點O.在l上取OA＝OB.則A.B到平面α等距但直線AB 不平行于平面α. C不正確.設(shè)l斜交α于O.在α內(nèi)過O點作m⊥l.則α內(nèi)與m平行的無數(shù)多條 直線都平行于l.但l與α不垂直. D不正確.若互相平行的兩直線a.b所確定的平面β⊥α.則a.b在α內(nèi)的 射影是一條直線. E正確.由三垂線定理易證明它的正確性. 例21 已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ.α內(nèi)一點C到β的距離為3. 點C到棱的距離為4.那么tgθ的值等于( ) A. B. C. D. 解:如圖.CO⊥β于O.CD⊥AB于D.則CO＝3.CD＝4.∠CDO＝θ.∠COD＝90°. ∴tgθ＝ ＝. 應(yīng)選C. 例22 下列命題中.錯誤的是( ) A.若一直線垂直于一平面.則此直線必垂直于這平面上所有的直線 B.若一個平面通過另一個平面的一條垂線.則這兩個平面互相垂直 C.若一條直線垂直于一個平面的一條垂線.則此直線平行于這個平面 D.若平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線的射影垂直.則它也和這條斜線垂直 解:B為兩面垂直的一個判定定理. A為線面垂直的性質(zhì)定理. C錯誤:設(shè)l⊥平面α.m∥l.若mα.則m∥α. 應(yīng)選C. 例23 下列四個命題中的真命題是( ) A.若直線l平面α內(nèi)兩條平行直線垂直.則l⊥α B.若平面α內(nèi)兩條直線與平面β內(nèi)兩條直線分別平行.則α∥β C.若平面α與直二角β-MN-r.棱MN交于點A.與二面角的面β.而r分別交于AB.AC.則∠BAC≤90° D.以上三個命題都是假命題. 解:命題A不真 命題B不真,若這四條直線都平行.則有可能α∥β 命題C不真: 如圖 BC2＝BB′2+BC′2 ＝BB′2+CC′2+B′C2 ＝BB′2+CC′2+2 ＞BB′2+CC′2+B′A′2+C′A2 ＝(BB′2+B′A2)+(CC′2+C′A2) ＝BA2+CA2 ∴∠BAC＞90° 應(yīng)選D. [同步達(dá)綱練習(xí)] 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列命題正確的個數(shù)為（　�。�
①斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成的角的最小角．
②二面角α-l-β的平面角是過棱l上任一點O，分別在兩個半平面內(nèi)任意兩條射線OA，OB所成角的∠AOB的最大角．
③如果一條直線和一個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直．
④設(shè)A是空間一點，
n
為空間任一非零向量，適合條件的集合{
M
|
AM
•
n
=0}的所有點M構(gòu)成的圖形是過點A且與
n
垂直的一個平面．

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下列命題正確的個數(shù)為（　�。�
①斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成的角的最小角．
②二面角α-l-β的平面角是過棱l上任一點O，分別在兩個半平面內(nèi)任意兩條射線OA，OB所成角的∠AOB的最大角．
③如果一條直線和一個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直．
④設(shè)A是空間一點，
n
為空間任一非零向量，適合條件的集合{
M
|
AM
•
n
=0}的所有點M構(gòu)成的圖形是過點A且與
n
垂直的一個平面．
A．1B．2C．3D．4

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