評價:檢驗與評價結(jié)果是否符合實際. 例9.已知f(x+1)=x2-3x+2. , [探路]換元法:用湊法換元或設(shè)法換元. [解法一] (1)改寫已知等式.并且湊法: f(t+1)=t2-3t+2=(t+1)2-5t+1=(t+1)2-5(t+1)+6. ∴f(x)=x2-5x+6 2-52-5(x+a)+6 =2x2-10x+2a2+12 [解法二] (1)把已知等式改寫為 f(t+1)=t2-3t+2 設(shè) t+1=x.則t=x-1 f2-3(x-1)+2=x2-5x+6 即f(x)=x2-5x+6 (2)同“解法一 [評注] 解法一是“湊法 .解法二是“設(shè)法 .它們都是換元法.選用哪個方法要由題目的條件來確定. 如本題解法二較好.但下面的例2用解法二卻是不好的. 例10.已知.求f. [探路] 用湊法換元. [解]把已知式先改寫.并用湊法: ∴ ∴f=-18 [評注] 本題用“設(shè)法 .即“設(shè).解出t 是不好的.請你試試看. 例11.求下列函數(shù)的定義域: (1), (2) [解](1) ∴函數(shù)的定義域是∪. (2) ∴函數(shù)的定義域是 [評注] 在(1)中.解|x+1|-2≠0得x≠1 , x≠-3.如果寫成“x≠1.或x≠-3 .這是錯誤的,應(yīng)寫成 “x≠1.且x≠3 .這是一個重要的邏輯思維問題.不要用錯邏輯聯(lián)結(jié)詞“或 .“且 .寫出 上面的x{1.-3}是最好的. 在(2)中.解時.先解方程.經(jīng)檢驗x=-1是增根.應(yīng)舍去. 所以得x≠2. 求定義域最關(guān)鍵問題是列出自變量可取值的充要條件組.在解析式上.目前應(yīng)記準列條件組的下述 法則: 有分式--分母非零, 有偶次根式--被開方式非負, 有零指數(shù)冪--底非零. 例12.的定義域是[-1.2].求函數(shù)y=f的定義域. 的定義域是[-1.2].求函數(shù)y=f(x)的定義域. [探路] 利用函數(shù)的符號意義來求其自變量的取值范圍.先改寫已知定義域的函數(shù)的自變量. [解] 的定義域是[-1.2]. ∴-1≤t≤2. 對于函數(shù)y=f有意義.應(yīng)有 . ∴函數(shù)y=f的定義域是[0.1]. 的定義域是[-1.2] ∴-1≤t≤2 ∴-3≤1-2t≤3 對于函數(shù)f(x)的自變量x=1-2t∈[-3.3] ∴函數(shù)y=f(x)的定義域是[-3.3] [評注] 本題就是“抽象問題 .求抽象函數(shù)的定義域要由函數(shù)符號的意義來確定.其關(guān)鍵是抓住“誰是自 變量 .求定義域就是求自變量的取值范圍.以本題之(2)為例:首先要弄清f是兩個 不同的函數(shù),因為它們的自變量都表示為x.為了防止混淆.把已知函數(shù)f.這 樣函數(shù)f的自變量為t∈[-1,2].所求函數(shù)f(x)的自變量為x.再由x=1-2t , t∈[-1 , 2].求 得x∈[-3.3].即得f(x)的定義域.函數(shù)y=f和函數(shù)x=1-2t的“復(fù)合 .中學(xué) 所遇到的“抽象函數(shù)問題 就是這種復(fù)合函數(shù)的符號問題. 例13.求函數(shù)的值域. [探路]用“不等式法 或“反解法 . [解法一]用“不等式法 : 由x≠3得≠0(即) ∴y≠2.即得函數(shù)y的值域:{y|y∈R.且y≠2}. [解法二]用“反解法 .即“解x法 : ① 關(guān)于自變量x的方程①有x≠3的解y≠2. ∴函數(shù)y的值域是{y|y∈R.且y≠2} [評注] “不等式法 .已在前面說過.通過本例加以熟練. “反解法 就是把函數(shù)y=f等價地化為關(guān)于自變量x的方程.求值域就是求 該方程在定義域上有解的充要條件.但不必求出x.只要用各種方法消去x.用y表出這個充要條件.即可 解得值域.當這個充要條件可用判別式表出.那么.這種“反解法 就叫做“判別式法 .當這個充要條 件不能用判別式表出.即是判別式法失效! 例14.求函數(shù)的值域. [探路]用“判別式法 [解]該函數(shù)的定義域A=R ① (1)當y=0時.①x=0∈A.∴有y=0 (2)當y≠0時.①有實數(shù)解△=1-4y2≥0 Û. 由.得函數(shù)值域為[]. [評注] 判別式法應(yīng)用在二次方程中.所以應(yīng)注意討論方程①是否為二次方程.因此本題要分類討論. 本題“判別式法 有效.是因為二次方程①的根x∈R.沒有限制.對于根x有限制的二次方程.△≥0 只是有實數(shù)根的必要條件.還要補加其它條件.使之成為充要條件才能求得值域.否則.要改用其他方法. 例15.求函數(shù)的值域. [探路]用換元法.設(shè).則x可用t的有理式表示.從而化為二次函數(shù)的值域問題. [解]設(shè).則t∈[0.+∞).x=1+t2 ∴ ∴ ∴函數(shù)的值域是[). [評注] 用換元法.必須注意:不但解析式要完全化為新元的函數(shù).而且要求出新元的取值范圍(新函數(shù)的定 義域).即建立完整的新函數(shù).如本例的新函數(shù)是.t∈[0.+∞].否則.換元不等 價.容易造成錯誤. 例16.x為何值時.|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的值最小?并求出這個最小值. [探路] 顯然.這是求函數(shù). f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| 的值域問題.用分類法是可以解決的.但要分為五種情況.太麻煩了. 于是想用圖象法來解.試試看.能不能非常簡單.還有沒有更妙的解法? [解法一] 這個函數(shù)的圖象是折線.其最小值必在折點上取得.于是計算四個折點的函數(shù)值: f=5 , f(5)=9 ∴f(x)的最小值為5.當x∈[2.3]時取得. [解法三]畫數(shù)軸: 設(shè)動點P的坐標為x.A.B.C.D的坐標分別為1.2.3.5.則f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| =|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=d 由圖可知.當點P在線段BC上時.取得d0=|BC|+|AD|=1+4=5,當點P在線段BC的兩側(cè)延長線上時d>d0. ∴當x∈[2.3]時.取得f(x)min=5. [評注]解法一是圖象法.但無需畫圖.其圖象是開口向上的折線.在解題者的想象之中. 解法二是“圖解法 --畫數(shù)學(xué)式的幾何圖.圖解法包括圖象法.由本題.我們看到圖解法包括: 圖示法--畫幾何圖或示意圖 圖解法是數(shù)形結(jié)合法. 【查看更多】

 

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