如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D，D₁，G分別為AB，A₁B₁，A₁C₁的中點(diǎn)，E、F在BB₁上，且BB₁=4BE=4B₁F．
（1）求證：DG∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面DEG⊥平面C₁D₁F．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1．若二面角C-AB-C₁的大小為60°，則點(diǎn)C₁到直線AB的距離為．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

AA1，D是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M為AA₁上的點(diǎn)，且AM=2MA₁，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為4

2

，設(shè)這條最短路線與C₁C的交點(diǎn)為N．求：
（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；
（2） PC和NC的長(zhǎng)；
（3）此棱柱的表面積；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大�。ㄓ梅凑�切函數(shù)表示）．