(本小題滿分14分) 已知函數(shù)

（I）若 在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（II）在（I）的結論下，設函數(shù)的最小值；

（III）設函數(shù)的圖象C₁與函數(shù)的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)

（I）若 在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（II）在（I）的結論下，設函數(shù)的最小值；

（III）設函數(shù)的圖象C₁與函數(shù)的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

（本小題滿分14分）

設函數(shù)，其中．

( I )若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當時，設，討論的單調性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，

使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

（本小題滿分14分）
設函數(shù)，其中．
( I )若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P在的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當時，設，討論的單調性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，
使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數(shù)b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.