高三數(shù)學(xué)同步檢測(十)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

 

說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分,請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi),第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分,考試時(shí)間90分鐘.

第Ⅰ卷(選擇題共40分)

一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)

1.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為(   )

A.(-∞,+∞)                   B.(0,+∞)

C.(-∞,0)                     D.不存在

分析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解 ∵y′=3x2+1>0恒成立,

∴y=x3+x在(-∞,+∞)上為增函數(shù),沒有減區(qū)間

答案 A

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2.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù)f′(x)的圖象是(   )

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分析 本題主要考查二次函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí).

解 利用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù),從而確定圖象.

∵f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,

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∴->0,即b<0.

∵f′(x)=2x+b(b<0),∴圖象A為所求.

答案 A

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3.★右圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是 (   )

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A.在區(qū)間(-2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

B.在(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)

C.在(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

D.在x=2時(shí)f(x)取到極小值

分析 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系.

試題詳情

解 在(-2,1)上,導(dǎo)函數(shù)的符號有正有負(fù),所以函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù);同理,函數(shù)在(1,3)上也不是單調(diào)函數(shù).在x=2的左側(cè),函數(shù)在(-,2)上是增函數(shù),在x=2的右側(cè),函數(shù)在(2,4)上是減函數(shù),所以在x=2時(shí),f(x)取到極大值;在(4,5)上導(dǎo)數(shù)的符號為正,所以函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù).

答案 C

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4.下列說法正確的是(  )

A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大

B.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值

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C.對于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,則f(x)無極值

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在最值

分析 本題主要考查函數(shù)的最值與極值的關(guān)系,加深對最值與極值概念的理解.

試題詳情

解 函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定;最大值并不一定是極大值,最大值有可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得;函數(shù)在開區(qū)間上不一定存在最值;對C選項(xiàng),f′(x)=3x2+2px+2,其中Δ=4p2-24=4(p2-6),當(dāng)|p|<時(shí),Δ<0,所以方程f′(x)=0無實(shí)根,即不存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn).所以函數(shù)f(x)無極值.

答案 C

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5.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )

A.a≥3         B.a=2           C.a≤3             D.0<a<3

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍.

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解 f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a),由f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,得3x(x-a)≤0,即a≥2,

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∴a≥3.

答案A

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6.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函數(shù),則(    )

A.b2-4ac>0                B.b>0,c>0

C.b=0,c>0                D.b2-3ac<0

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

解 f′(x)=3ax2+2bx+c.

要使函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函數(shù),

只需f′(x)>0,即3ax2+2bx+c>0(a>0)對任意x∈R恒成立,

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只需(2b)2-4×3ac<0,整理得b2-3ac<0.

答案 D

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7.已知函數(shù)f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則a的值為(   )

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A.2            B.-2            C.          D.4

分析 某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要不充分條件.

解 f′(x)=3ax2+2(2a-1)x.

∵x=-1是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),

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∴3a×(-1)2+2(2a-1)×(-1)=0.

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∴a=2.

答案 A

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8.在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),函數(shù)y=ex-x是(    )

A.增函數(shù)           B.減函數(shù)           C.先增后減           D.先減后增

分析 本題考查利用求導(dǎo)的方法求函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.

解 ∵y′=ex-1,又x∈(0,+∞),

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∴ex>1.∴ex-1>0.∴y′>0.

答案 A

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9.函數(shù)y=f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e]上的最大值為(    )

A.1-e        B.-1          C.-e         D.0

分析 本題考查利用求導(dǎo)的方法求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

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解 y′=-1,令y′=0,即x=1,在(0,e]上列表如下:

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y′

+

0

-

 

y

增函數(shù)

極大值-1

減函數(shù)

1-e

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由于f(e)=1-e,而-1>1-e,從而y最大=f(1)=-1.

答案 B

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10.函數(shù)y=x5-x3-2x,則下列判斷正確的是(   )

A.在區(qū)間(-1,1)內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)

B.在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)

C.在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)

D.在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)

分析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法以及一元高次不等式的解法.

解 y′=5x4-3x2-2=(5x2+2)(x2-1)

=(5x2+2)(x+1)(x-1).

∵5x2+2>0恒成立,

∴當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),y′<0,則f(x)為減函數(shù);

當(dāng)x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時(shí) ,y′>0,則f(x)為增函數(shù).故選D.

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

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二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)

11.函數(shù)f(x)=x3-3x2+7的極大值是        .

分析 本題考查利用求導(dǎo)的方法求函數(shù)的極值.

解 f′(x)=3x2-6x.

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令f′(x)=0,得x=0或x=2.

作出函數(shù)f′(x)=3x2-6x的圖象.

因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)是減函數(shù),

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所以函數(shù)在x=0處有極大值f(0)=7.

答案 7

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12.函數(shù)y=4x2+的單調(diào)增區(qū)間為      .

分析 本題考查利用求導(dǎo)的方法求比較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對于非常規(guī)函數(shù),求導(dǎo)不失為一種好方法.

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解 y′=8x-.要求增區(qū)間,只需y′>0,即8x->0.

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解得x>.

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所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,+∞).

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答案 (,+∞)

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13.函數(shù)y=3x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間為        .

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

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解 y′=6x-.

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∵6x-<0<0x(3x2-1)<0

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x<-或0<x<.

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又∵x>0,∴0<x<,

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即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,).

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答案 (0,)

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14.函數(shù)y=x4-8x2+2在[-1,3]上的最大值為          .

分析 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

解法一 在y=(x2-4)2-14中把x2視為一個(gè)整體.

∵-1≤x≤3,

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∴0≤x2≤9.

試題詳情

∴y最大=(9-4)2-14=11.

解法二 y′=4x3-16x,令y′=0,

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即4x3-16x=0.

解得x=0或x=±2,列表如下:

x

(-1,0)

0

(0,2)

2

(2,3)

y′

+

0

-

0

+

y

增函數(shù)

極大值2

減函數(shù)

極小值-14

增函數(shù)

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又∵f(-1)=-5,f(3)=11,故函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為11.

答案 11

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三、解答題(本大題共5小題,共44分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分8分)已知函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù),試確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.

試題詳情

分析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.可先由函數(shù)y=ax與y=-的單調(diào)性確定a、b的取值范圍,再根據(jù)a、b的取值范圍去確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.

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解 ∵函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),

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∴a<0,b<0.                   2分

由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.

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令y′>0,即3ax2+2bx>0,∴<x<0.

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因此當(dāng)x∈(,0)時(shí),函數(shù)為增函數(shù);      4分

令y′<0,即3ax2+2bx<0,

試題詳情

∴x<或x>0.                         6分

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因此當(dāng)x∈(-∞,)時(shí),函數(shù)為減函數(shù);

x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)也為減函數(shù).          ?8分

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16.★(本小題滿分8分)當(dāng)室內(nèi)的有毒細(xì)菌開始增加時(shí),就要使用殺菌劑.剛開始使用的時(shí)候,細(xì)菌數(shù)量還會(huì)繼續(xù)增加,隨著時(shí)間的增加,它增加幅度逐漸變小,到一定時(shí)間,細(xì)菌數(shù)量開始減少.如果使用殺菌劑t小時(shí)后的細(xì)菌數(shù)量為b(t)=105+104t-103t2.

(1)求細(xì)菌在t=5與t=10時(shí)的瞬時(shí)速度;

(2)細(xì)菌在哪段時(shí)間增加,在哪段時(shí)間減少?為什么?

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,                       2分

b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0,

b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,

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即細(xì)菌在t=5與t=10時(shí)的瞬時(shí)速度分別為0和-10 000.   4分

(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,

由-2 000t+10 000<0,得t>5,                            6分

即細(xì)菌在t∈(0,5)時(shí)間段數(shù)量增加,在t∈(5,+∞)時(shí)間段數(shù)量減少.       8分

17(本小題滿分8分)已知a為實(shí)數(shù),f(x)=(x2-4)(x-a).

(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

分析 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析推理和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.求函數(shù)在閉區(qū)間的最值,只需比較導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即可.

解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,

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∴f′(x)=3x2-2ax-4.          2分

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(2)由f′(-1)=0,得a=.      3分

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此時(shí)有f(x)=(x2-4)(x-),

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∴f′(x)=3x2-x-4.

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由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

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又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

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∴f(x)在[-2,2]上的最大值為,最小值為.       8分

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18.★(本小題滿分10分)某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大?有多少元?

分析 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.

解法一 設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤y最大.         2分

依題意,得y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)]            4分

=-6x2+108x+378

=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),                       8分

顯然,當(dāng)x=9時(shí),ymax=864(元),

即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大,最大利潤為864元.   10分

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解法二 由上面解法得到y(tǒng)=-6x2+108x+378.

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求導(dǎo)數(shù),得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

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解得x=9.因?yàn)閤=9∈[1,10],y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.

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19.(本小題滿分10分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時(shí),每瓶飲料的利潤最小?

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

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y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),0<r≤6.      2分

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令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.

當(dāng)r=2時(shí),f′(r)=0;

當(dāng)r∈(0,2)時(shí),f′(r)<0;

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當(dāng)r∈(2,6)時(shí),f′(r)>0.      4分

因此,當(dāng)半徑r>2時(shí),f′(r)>0,它表示f(r)單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤越高;半徑r<2時(shí),f′(r)<0,它表示f(r)單調(diào)遞減,即半徑越大,利潤越低.           6分

(1)半徑為6 cm時(shí),利潤最大.        8分

(2)半徑為2 cm時(shí),利潤最小,這時(shí)f(2)<0,表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時(shí)利潤是負(fù)值.                        10分

 

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