2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試黃岡市答題適應性訓練試題

數(shù)    學(理工農醫(yī)類)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。滿分150分�？荚囉脮r120分鐘。

第Ⅰ卷(選擇題  共50分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘帽在答題卡上指定位置。

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試題卷上無效。

3.考試結束，監(jiān)考人員將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知a，b為兩個不相等的實數(shù)，集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a+b等于

 A.1                                   B.2                              C.3                              D.4

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2.若，則下列結論不正確的是

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 A.a2<b2                      B.ab<b2                       C.                  D.|a|-|b|=|a-b|

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3.從8名女生，4名男生中選出6名學生級成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則汪同的抽取方法種數(shù)為

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A.C                   B.C                       C.                          D.A

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4.已知方程(x2-6x+k)(x2+6x+h)=0的4個實根經過調整后組成一個以2為首項的等比數(shù)列，則k+h=

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  A.2-2                  B.2+2                     C.-6+6                   D.24

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5.若已知tan10°=a，求tan110°的值，那么在以下四個答案：①

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 ④中，正確的是

 A.①和③                   B.①       和④                     C.②和③                            D.②和④

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6.設F1、F2分別為雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點。若的最小值為8a，則該雙貢線離心率e的取值范圍是

 A.(0,2)                       B.(1,3)                         C.[2,3]                         D.[3,+∞]

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7.已知f′(x)是f(x)的導函數(shù)，且f′(x)的圖象如下左圖所示，則f(x)的圖象只可能是下右圖中的

 

 

 

 

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8.如右圖所法，在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上

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 存在一點P使得AP+D1P取得最小值，則此最小值為(   )

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A.2                                                             B.

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C.2+                                                      D.

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9.已知O平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個動點，點P滿足

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λ()，λ∈(0,+∞),則動點P的軌跡一定通過△ABC的

A.重心                            B.外心                         C.垂心                         D.內心

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10.設定義域為R的函數(shù)f(x)=,若關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3個不同的實數(shù)解x1、x2、x3，則動點P的軌跡一定通過△ABC的

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  A.4                          B.                    C.9                              D.

第Ⅱ卷(非選擇題  共100分)

注意事項：

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第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.

11.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=的虛部為_________.

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12.已知函數(shù)f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,則a的取值范圍是________。

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13.由線性約束條件所確定的區(qū)域面積為S，記S=f(t)(0≤t≤1)，則f(t)等于_____。

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14.函數(shù)y=圖像上至少存在不同的三點到原點的距離構成等比數(shù)列，則公比的取值范圍是_________。

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15.對于集合N={1，2，3，…，n}及其它的每個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排我該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)，例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，當集合N中的n=1時，它的閃替和S1=1；當集合N中的n=2時，集合N={1，2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1，2}，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2-1)=4.請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結果猜測集合N={1，2，3…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn=____.

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三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或解題步驟.

16.(本小題滿分12分)

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  已知△ABC的三個頂點分別是A(3，0)、B(0，3)、C(cosα，sinα),其中

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  (1)若，求解α的值；

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  (2)若求cosα-sinα的值.

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17.(本小題滿分12分)

  設a>0,函數(shù)f(x)=x3-ax在［1，+∞］上是單調函數(shù)。

  (1)求實數(shù)a的取值范圍；

  (2)設x0≥1時有f(x0)≥1,且f(f(x0))=x0，求證：f(x0)=x0.

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18．(本小題滿分12分)

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  如圖，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AAl=

  4，D為棱CC1上的一動點，M、N分別為△ABD，△A1B1D的重心．

  (1)求證：MN⊥BC；

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  (2)若二面角C―AB―D的大小為arctan，求點C1到平面A1B1D

    的距離；

  (3)若點C在△ABD上的射影正好為M，試判斷點C1在△A1B1D的

    射影是否為N?并說明理由．

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19．(本小題滿分12分)

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  已知某車站每天8：00～9：00、9：00～10：00都恰好有一輛客車到站；8：00～9：00到站的客車A可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次為9：00～10：00到站的客車B可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次為今有甲、乙兩位旅客，他們到站的時間分別為8：00和8：20，試問他們候車時間的平均值哪個更多?

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20．(本小題滿分12分)

  已知函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時滿足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0<x1，<x2，使得不等式f(x1)>f(x2)成立．

  設數(shù)列(an)的前，2項和Sn=f(n)，

  (1)求數(shù)列{an}的通項公式；

  (2)試構造一個數(shù)列(bn)(寫出{bn}的一個通項公式)，滿足：對任意的正整數(shù)n都有6n<an，

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  且=2，bn≠0，并說明理由；

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  (3)設各項均不為零的數(shù)列{cn}中，所有滿足ci?ci+1<0的正整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)．令cn=1-(n為正整數(shù))，求數(shù)列{cn}的變號數(shù)．

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21．(本小題滿分14分)

  如右圖，在棱長為1的正方體，ABCD―A1B1C1D1中，M、N分別為線段BB1、AB的中點，O是正方形B1BCC1的中心，過O作直線與直線AM交于點P，與直線CN交于點Q．

  (1)求線段PQ的長度；

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  (2)將側面ABB1A1無限延展開來得到平面ABB1A1，設平面

    ABB1A1內有一動點T，它到直線DD1的距離的平方減去它

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    到P點的距離的平方，其差為1．請建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?/p>

    求出動點丁所構成的曲線K的方程；

  (3)在(2)的條件下，請說明以PB為直徑的圓與曲線K是否有交

    點，如果有請求出此點的坐標；如果沒有請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試黃岡市答題適應性訓練試題

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1.D點拔：由已知可得M=N，故，a、b是方程x2-4x+2=0的兩根，故a+b=4

2.D 點拔：∵

 ∴等號取不到，即故A、B、C均正確，而D顯然錯誤，應為|a|-|b|<|a-b|.

3.A 點拔： 由題意知，選出的6名學生中應有4名女生，2名男生，故共C種不同的抽取方法。

4.D 點拔：若2為方程x2-6x+k=0的根.∴另一根為4，故k=8.又方程x2+6的兩根與2，4，按一定次序可排成以2為首項的等比數(shù)列，故另兩根易求出，分別為-2和-4.∴h=16，∴k+h=24，而其余情況均不可能.

5.C 點拔：tan110°=tan(120°-10°)= tan110°=tan(90°+20°)= -cot20°= -

6.B 點拔：，當且僅當即時上式取等號，這時|PF1|=4a，由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，得6a≥2c,故1<e=

7.D 點拔：由f′(x)的圖象可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的兩端點處取得極值，且從a到b的各點處的切線的斜率是先增大后減小，故選D.

8.D 點拔：如圖所示，把對角面A1C繞A1B旋轉至A1BC′D′1,

  使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1′，則AD1′=

  為所求的最小值.

9.B 點拔：設線段BC的中D，則

  ∴

  ∴

  ∴

  =λ()=0

  ∴DP⊥BC.∴點P的軌跡一定通過△ABC的外心.

10.C 點拔：如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，可知關于f(x)的方程有一

正根和一零根，不妨設f(x1)=0且f(x2)=f(x3)=m

∴由圖像對稱性知x2+x3=2,又x1=1,∴(x1+x2+x3)2=9.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.-3點拔：z=

12.1<a<點拔：易知f(x)為奇函數(shù)且在定義域上增函數(shù)，∴原不等式可化為f(1-a)<f(a2-1),其等價于不等式組

13.-t2+t+點拔：如圖，由題設條件所確定的區(qū)域為圖中所示陰影部分.

∴S=×2×1-t2-(1-t)2=-t2+t+.

14.[ )∪(1，]點拔：函數(shù)y=的圖象上的點到原點的最短距離為1，最長距離為3.

故q的最大值為的最小值為.又q≠1  ∴q∈[)∪(1, ].

15.n?2n-1點拔：對于任一個不含元素n的子集A，加入一個元素n后成集B，則集合A與集合B“交替和”的和為n.這種構造的集合A集合與集合B是一一對應的，各有2n-1個，切每一對集合的“交替和”的和為n，故非空子集的“交集和”的總和Sn=n?2n-1.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.

16.(1)∵△ABC三個頂點分別是A(3，0)、B(0，3)、C(cosα,sinα),

  ∴=(cosα-3,sinα)，=(cosα，sinα-3),                 ………………(2分)

  由||=||得

  即cosα=sinα,                                                                 ………………(4分)

  ∵   ∴a=                                             ………………(6分)

  (2)由得，(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1

  即sinα+cosα=                                                            ………………(8分)

  ∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

  又∴sinα>0,cosα<0.

  (cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-(-)=,                        ………………(10分)

  ∴cosα-sinα=-                                                        ………………(12分)

 17.(1)y′=f′(x)=3x2-a.                                                       ………………(2分)

  若f(x)在[1，+∞)上是單調遞減函數(shù)，則須y′≤0，即α≥3x2恒成立，這樣的實數(shù)a不存在，故f(x)在[1，+∞)上不可能是單調遞減函數(shù)；                     ………………(4分)

  若f(x)在[1，+∞)]上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x2恒成立，由于x∈[1，+∞)，故3x2≥3.從而0<a≤3.                                                                            ………………(6分)

  (2)解法一  (反證法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能為單調遞函數(shù).

假設f(x0)≠x0,

若1≤x0<f(x0)，則f(x0)<f(f(x0))=x0,矛盾；                         ………………(8分)

若1≤f(x0)<x0,則f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0),矛盾，                ………………(10分)

故只有f(x0)=x0成立.                                                         ………………(12分)

解法二 設f(x0)=u (u≥1),則f(u)=x0,∴x兩式相減得(x)-a(x0-u)-x0,

∴(x0-u)(x+x0u+u2+1-a)=0,                                              …………………(8分)

∵x0≥1,u≥1,∴x+x0u+u2≥3.

又0<a≤3,∴x+x0u+u2+1-a>0.

∴x0-u≤0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.                                         …………………(12分)

18.(1)連結DM、D屏延長，分別交AB、A1B1于點P、Q，連結PQ，

  ∵M、N分別為△ABD、△A1B1D的垂心，則P、Q分別為AB、A1B1的中點，

  且∴PQ∥BB1∥MN，  …………………(2分)

  ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥BC，∴MN⊥BC.     …………………(4分)

  (2)連結CP，∵AC=BC，∴CP⊥AB，又∵CC1⊥面ABC，

∴AD=DB=，  ∴DP⊥AB，

  ∴∠CPD即為二面角C-AB-D的平面角，∴∠CPD=arctan,

  在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴CP=，

  ∴在Rt△CDP中,CD=CP?tan∠CPD=2,

  ∵CC1=AA1=4,∴DC1=2,                                                           …………………(6分)

  連結C1Q，C1Q=CP=

∵A1D=DB1=為A1B1的中點，∴DQ⊥A1B1，

∴S△A1B1D=，

設C1到面DA1B1的距離為h，

∵VC1-A1B1D=VD-A1B1C1,∴h?SA1B1D=C1D?S△A1B1C1,

∴h=.                                                                              …………………(8分)

(3)∵CM⊥面ABD，∴CM⊥DP，∴

∴CD=2，∴C1D=2，則DQ=DP，∵MN∥PQ，∴DM=DN，

∵CD2=DM?DP，∴DC=DN?DQ，

∴△DC1Q~△DNC1,∴∠C1ND=∠DC1Q=90°,                         …………………(10分)

∴C1N⊥DQ，又∵A1B1⊥面C1CPQ，∴A1B1⊥C1N，

∴C1N⊥面A1B1D,∴C1在面A1B1D的射影即為N.                    …………………(12分)

解法二：空間向量解法：以C1為原點，如右圖建立空間直角坐標系.

(1)設C1D=a(0≤a≤4),依題意有：

D(0，0，a),A(2，0，4),B(0，2，4),C(0，0，4),C1(0，0，0)，

A1(2，0，0)，B1(0，2，0)                  …………………(2分)

因為M、N分別為△ABD，△A1B1D的重心.

所以M，

∵,∴MN⊥BC.                             …………………(4分)

(2)因為平面ABC的法向量n1=(0，0，-1),設平面ABD的法向量n2=(x1，y1，z1).

令x1=1n2=,設二面角C－AB－D為θ，則由tanθ=，

因此cosθ= (舍)或a=2,

                                                                                               ………………(6分)

設平面A1B1D的法向量為n3=(x,y,z),則

 令x=1有n3=1(1，1，1)，

設C1到平面A1B1D的距離為d，則d=.…………………(8分)

(3)若點C在平面ABD上的射影正好為M，則，

即()?(-2，0，a-4)=0(舍)或a=2，……(10分)

因此D為CC1的中點，根據(jù)對稱性可知C1在平面A1B1D的射影正好為N. …(12分)

19.設甲、乙兩位旅客的候車時間分別為ξ，η分鐘，則他們的分布列為；

甲旅客                                                 乙旅客

ξ   10    30       50           η    10    30    50     70      90

P    

易知Eξ=10×，                            …………(8分)

∴Eη=,…………(10分)

∴Eξ<Eη，旅客甲候車時間的平均值比旅客乙多.

答：旅客甲候車時間的平均值比旅客乙多.                              …………(12分)

20.(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個元素，∴△=a2-4a=0a=0或a=4,,

  當a=0時，函數(shù)f(x)=x2在(0，+∞)上遞增，故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.

                                                                                                  …………(2分)

  綜上，得a=4，f(x)=x2-4x+4,∴Sn=n2-4n+4,∴an=Sn-Sn-1=………(5分)

  (2)要使=2，可構造數(shù)列bn=n-k, …………………………………………(6分)

 ∵對任意的正整數(shù)n都有bn<an,

 ∴當n≥2時，n-k<2n-5恒成立且1-k<1,即n>5-k恒成立且k>0,

 即                            ……………………………………(8分)

 又bn≠0,∴k∈N*，∴bn=n-,等等.                     ……………………………………(9分)

(3)解法一：由題設cn=,

∵n≥3時，cn+1-cn=∴n≥3時，數(shù)列{cn}遞增，

                                                                                        …………………………(11分)

∵a4=-，可知a4?a5<0,即n≥3時，有且只有1個變號數(shù)；

又∵c1=-3,c2=5,c3=-3, 即c1?c2<0,c2?c3<0, ∴此處變號數(shù)有2個.

綜上得數(shù)列{cn}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3.               …………………………(13分)

解法二：由題設cn=,

n≥2時，令cn?cn+1<0或n=4；

                                                                                        …………………………(11分)

又∵c1=-3,c2=5,∴n=1時也有c1?c2<0.

綜上得數(shù)列{cn}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3.               …………………………(13分)

21.如右圖，連結MO交CC1于E，連結DE，延長DA，CN交于Q，連結OQ交AM于P，則PQ為所求的線段易得，………………(2分)

 在Rr△PMO中，可得到

PO=，

故PQ=2PO=.                                                          ………………………(4分)

(2)過T作TE⊥DD1于E，過T作TF⊥AA1于F，

⊥平面TEF,故AA1⊥EFTF∥PT，

在Rt△TFE中，TF2=TE2=TE2-1=PT2TE=PT

故T點的軌跡是以P為焦點，以AA1為準線的拋物線，(7分)

以過P點且垂直AA1的直線為x軸，以P點到AA1

的垂線段的中點為原點，建立直角坐標系，設拋物線

的方程y2=2px(p>0),由于P咪到AA1的距離為，

∴曲線K的方程為y2=                                         ……………(9分)

(3)假設拋物線與圓有交點，設交點為G，則∠PGB為直角，易得PB2==，且B點在拋物線內部，

故PG2+GB2+，                                                            …………………(11分)

又PG2+GB2≥

過G作GH⊥AA1，則PG=HG，

∴PG2+GB2≥矛盾，故交點G不存在，于是以PB為直徑的圓與曲線K沒有交點.                              ……………………(14分)

 


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