試卷類型：A

2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)

              數(shù)   學(xué) (文 科)       2009.3 

本試卷共4頁(yè)，21題，滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1. 答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校、以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。

3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4. 作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。

5．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

 

參考公式：

錐體的體積V=Sh，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).     

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出

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二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.

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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程.

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題，每小題5分，

滿分50分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

C

B

D

A

D

D

C

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共5小題，每小

題5分，滿分20分．其中14～15題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

11. ；    12. 1， 2^n-1；          13. 80；   14.；       15.1.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加

學(xué)校的演講比賽.

(1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.

解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：

a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；

b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種.                    ……4分

(1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為.  ……8分

(2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，

故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.           ……12分                            

17.(本小題滿分14分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．

(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S_△ABC=4，求b，c的值．

 

解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得，                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S_△ABC=acsinB=4，                             ……8分

 ∴，  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b²=a²+c²－2accosB，

∴.……14分

18.(本小題滿分14分) 如圖4，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A₁A= AB=2.

(1)求證: BC⊥平面A₁AC；

(2)求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值.

 

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，

且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC,                  ……2分

∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA₁⊥BC，                ……4分

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，

ACÌ平面AA₁ C，

                            ∴BC⊥平面AA₁C.           ……6分

 

(2)解法1：設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2) ,                     ……7分

故(0<x<2),

……9分

 

即. ……11分

∵0<x<2，0<x²<4，∴當(dāng)x²=2，即時(shí)，

三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                       ……14分

解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，                  ……7分

                ……9分

.               ……11分

當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AC=BC=.

∴三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

設(shè)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)是拋物線x²=4y上不同的兩點(diǎn)，且該拋物線在點(diǎn)A、B處的兩條切線相交于點(diǎn)C，并且滿足.

(1)求證：x_1?x₂=－4；

(2)判斷拋物線x²=4y的準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(1) 證明：由x²=4y得，則，

∴拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處的切線的斜率分別為，

……2分

∵，∴，                            ……4分

∴拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處兩切線互相垂直，

∴，∴x_1?x₂=－4.                             ……6分

(2) 解法1: ∵，∴，

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，                            ……8分

∵拋物線x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1, ∴點(diǎn)D到直線

y=－1的距離為，                       ……10分

∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑，

由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1?x₂=－4，則，

∴

，

即

，                         ……12分

∴d=r，∴拋物線x²=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

解法2:由(1)知拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)處的切線的斜率為

又x₁²=4y₁，∴切線AC所在直線方程為，

即                              ①      ……8分

同理可得切線BC所在直線方程為  ②

由①，②得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)y_C=－1，即

……10分

∵，∴，

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，

∵拋物線x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1,

∴點(diǎn)D到直線y=－1的距離為，            ……12分                 

∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑r=|CD|=，

∴d=r，∴拋物線x²=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

20. (本小題滿分12分)

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N^*)

(1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫出f(x)的解析式；

(2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))

解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí)，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，

令f(x)≥g(x)，則，解得，

所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)33≤x≤492時(shí)，f(x)<g(x).

故                 ……6分

當(dāng)1≤x≤32時(shí)，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，

則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時(shí))；       ……8分

當(dāng)33≤x≤49時(shí)，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，

則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時(shí))； ……10分

∵h(yuǎn)(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32.        ……12分

21. (本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求證：數(shù)列{ a_n－×2ⁿ}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數(shù)列

是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，

即對(duì)任意n∈N*都成立.

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分