2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

上海卷   數(shù)學(文史類)

一、填空題(本大題滿分48分)本大題共有12題,只要求直接填寫結果,每個空填對得4分,否則一律得零分。

1、已知,集合,若,則實數(shù)。

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2、已知兩條直線若,則____.

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3、若函數(shù)的反函數(shù)的圖像過點,則。

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4、計算:。

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5、若復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),其中則。

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6、函數(shù)的最小正周期是_________。

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7、已知雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為,則雙曲線的標準方程是____________________.

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8、方程的解是_______.

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9、已知實數(shù)滿足,則的最大值是_________.

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10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學,從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者,那么選到的兩名都是女同學的概率是______(結果用分數(shù)表示)。

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11、若曲線與直線沒有公共點,則的取值范圍是_________.

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12、如圖,平面中兩條直線和相交于點,對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離,則稱有序非負實數(shù)對是點的“距離坐標”,根據(jù)上述定義,“距離坐標”是(1,2)的點的個數(shù)是____________.

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二、選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題,每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論,其中有且只有一個結論是正確的,必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內,選對得4分,不選、選錯或者選出的代號超過一個(不論是否都寫在圓括號內),一律得零分。

13、如圖,在平行四邊形中,下列結論中錯誤的是             (   )

(A)            (B)

(C)       (D)

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14、如果,那么,下列不等式中正確的是(  )

(A)            (B)

(C)            (D)

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15、若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的                                                  (  )

(A)充分非必要條件           (B)必要非充分條件

(C)充分必要條件             (D)既非充分又非必要條件

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16、如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是

(A)48          (B) 18              (C) 24             (D)36

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三、解答題(本大題滿分86分)本大題共有6題,解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17、(本題滿分12分)

已知是第一象限的角,且,求的值。

 

 

 

 

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18、(本題滿分12分)如圖,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西,相距10海里處的乙船,試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援(角度精確到)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19、(本題滿分14)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分。

在直三棱柱中,.

(1)求異面直線與所成的角的大小;

(2)若與平面S所成角為,求三棱錐的體積。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20、(本題滿分14)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分。設數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),。

(1)求數(shù)列的通項公式

(2)設數(shù)列的前項和為,對數(shù)列,從第幾項起?

 

 

 

 

 

 

 

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21、本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設點.

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若是橢圓上的動點,求線段中點的軌跡方程;

(3)過原點的直線交橢圓于點,求面積的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

22(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分。

已知函數(shù)有如下性質:如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。

(1)如果函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),求的值。

(2)設常數(shù),求函數(shù)的最大值和最小值;

(3)當是正整數(shù)時,研究函數(shù)的單調性,并說明理由。

 

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一、(第1題至笫12題)

1. 4   2. 2   3.    4.    5. 3    6.π    7.

8. 5   9. 0   10.   11.-1<b<1   12. 4

二、(第13題至笫16題)

13. C    14. A    15. A    16. D

 

1、已知,集合,若, 則實數(shù)。

2、已知兩條直線若,,則2.

3、若函數(shù)=(>0,且≠1)的反函數(shù)的圖象過點(2,-1),則原函數(shù)的圖象過點(-1,2),∴ ,=.

4、計算:。

5、若復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),其中,則m=2,z=3i,。

6、函數(shù)=sin2x,它的最小正周期是π。

7、已知雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上,且a=3,焦距與虛軸長之比為,即,解得,則雙曲線的標準方程是.

8、方程的解滿足,解得x=5.

9、已知實數(shù)滿足,在坐標系中畫出可行域,得三個交點為A(3,0)、B(5,0)、C(1,2),則的最大值是0.

10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學,從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者,那么選到的兩名都是女同學的概率是.

11、曲線得|y|>1,∴ y>1或y<-1,曲線與直線沒有公共點,則的取值范圍是[-1,1].

12、如圖,平面中兩條直線和相交于點,對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離,則稱有序非負實數(shù)對是點的“距離坐標”,根據(jù)上述定義,“距離坐標”是(1,2)的點可以在兩條直線相交所成的四個區(qū)域內各找到一個,所以滿足條件的點的個數(shù)是4個.

 

二、選擇題:

13. C    14. A    15. A    16. D

13.如圖,在平行四邊形ABCD中,根據(jù)向量的減法法則知,所以下列結論中錯誤的是C.

14、如果,那么,∴ ,選A.

15、若空間中有兩條直線,若“這兩條直線為異面直線”,則“這兩條直線沒有公共點”;若 “這兩條直線沒有公共點”,則 “這兩條直線可能平行,可能為異面直線”;∴ “這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的充分非必要條件,選A.

16、如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”,分情況討論:① 對于每一條棱,都可以與兩個側面構成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有2×12=24個;② 對于每一條面對角線,都可以與一個對角面構成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有12個;所以正方體中“正交線面對”共有36個.選D.

 

三、(第17題至笫22題)

17.解:=

   由已知可得sin,

  ∴原式=.

18.解:連接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.

19.解:(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)

     ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

     ∴異面直線B1C1與AC所成角為45°.

     (2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,

∴AA1=.

∴三棱錐A1-ABC的體積V=S△ABC×AA1=.

20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.

     當n≥2時, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an

       ∴=     an=2048()n-1.

     (2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n,

     ∴Tn=(-n2+23n).

     由Tn<-509,解待n>,而n是正整數(shù),于是,n≥46.

     ∴從第46項起Tn<-509.

21.解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

     又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為

(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0),

 

y0=2y-

由,點P在橢圓上,得,

∴線段PA中點M的軌跡方程是.

(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.

當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(-,-),

則,又點A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積S△ABC=

于是S△ABC=

由≥-1,得S△ABC≤,其中,當k=-時,等號成立.

∴S△ABC的最大值是.    

22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,當x=時, 函數(shù)f(x)=x+取得最小值2.

f(1)-f(2)=,

當1≤c≤2時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+;

當2≤c≤4時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)設0<x1<x2,g(x2)-g(x1)=.

     當<x1<x2時, g(x2)>g(x1), 函數(shù)g(x)在[,+∞)上是增函數(shù);

     當0<x1<x2<時, g(x2)>g(x1), 函數(shù)g(x)在(0, ]上是減函數(shù).

   當n是奇數(shù)時,g(x)是奇函數(shù),

函數(shù)g(x) 在(-∞,-]上是增函數(shù), 在[-,0)上是減函數(shù).

   當n是偶數(shù)時, g(x)是偶函數(shù),

   函數(shù)g(x)在(-∞,-)上是減函數(shù), 在[-,0]上是增函數(shù).

 

 

 


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