北京市2009屆高三第二次模擬考試

數(shù)學(xué)文科

（試卷總分150分 考試時(shí)間120分鐘）

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.）

1．的值是（     ）

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A．                B．             C．           D．

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2．某大學(xué)有學(xué)生1500人，其中漢族學(xué)生1200人，回族學(xué)生250人，藏族學(xué)生50人，學(xué)校食堂為了解學(xué)生的就餐情況，現(xiàn)抽取容量是150的樣本，則抽取回族學(xué)生人數(shù)是（  ）

A．15                   B．25                 C． 35             D． 45

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3．已知集合，集合，則（     ）

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A．           B．            C．         D．

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4．設(shè)向量，，若∥，則（     ）

A．-1                 B．1                     C． 4                 D． 6

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5．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為9，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差為（    ）

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A．       B．          C．或     D． 或

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6．若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則此雙曲線的漸近線方程是(   )

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A. y=x+3           B. y=x-5               C. y=x               D.

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7.設(shè)、為正實(shí)數(shù)，則下列不等式恒成立的是(  )

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①；②；③；④。

A. ①③            B. ②③④             C. ①③④            D. ①②③

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8．設(shè)是展開式的中間項(xiàng)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）

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A．          B．          C．             D．

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9．函數(shù)的最小正周期是(    )

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A.                B.                   C.                   D.

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10．用平面截半徑為的球，若截面圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)亦為，則三棱錐的體積為（      ）

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A．             B．                C．            D．

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)11.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（    ）

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A．        B.

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C．        D

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12．直線，將圓面分成若干塊，現(xiàn)用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是                               （    ）

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A．    B．

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C．   D．

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)13． “”是“表示直線右側(cè)區(qū)域”的             條件。

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和比集合的子集個(gè)數(shù)少１，則數(shù)列通項(xiàng)公式是             。

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15.如圖，正四面體中，是底面上的高，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為             。

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16,已知點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)為焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)點(diǎn)，若，則向量與的夾角為             。

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三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.(本小題滿分10分)

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已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中，，

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（Ⅰ）若，求的值；

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（Ⅱ）若，求的面積。

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18. (本小題滿分12分)

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高中會(huì)考成績(jī)分A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，其中等級(jí)D為會(huì)考不合格，某學(xué)校高三學(xué)生甲參加語文、數(shù)學(xué)、英語三科會(huì)考，三科會(huì)考合格的概率均為，每科得A，B，C，D 四個(gè)等級(jí)的概率分別為，

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（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業(yè)證，求學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；

（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評(píng)為三好學(xué)生，則學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率；

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19．（本小題滿分12分）

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

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20．(本小題滿分12分)

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，∥，，，點(diǎn)、分別在棱、上，且平面，

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）求二面角的正切值的大�。�

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（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。

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21．(本小題滿分12分)

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已知拋物線與橢圓都經(jīng)過點(diǎn)，它們?cè)?sub>軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）求拋物線與橢圓的方程；

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（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。

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22．(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，

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（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；

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（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍。

 

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1．解析：，故選A。

2．解析：抽取回族學(xué)生人數(shù)是，故選B。

3．解析：由，得，此時(shí)，所以，，故選C。

4．解析：∵∥，∴，∴，故選C。

5．解析：設(shè)公差為，由題意得，；，解得或，故選C。

6．解析：∵雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴雙曲線的漸近線方程是,故選D.

7.解析：∵、為正實(shí)數(shù)，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8．解析：∵，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，故選D。

9．解析：∵

，∴此函數(shù)的最小正周期是，故選C。

10．解析：如圖，∵正三角形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，又∵，∴，故選D。

11．解析：∵在區(qū)間上是增函數(shù)且，∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，故選A

12．解析：如圖，①當(dāng)或時(shí)，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)或時(shí)，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；

③當(dāng)時(shí)，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。

13．解析：將代入結(jié)果為，∴時(shí)，表示直線右側(cè)區(qū)域，反之，若表示直線右側(cè)區(qū)域，則，∴是充分不必要條件。

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)14.解析：∵，∴時(shí)，，又時(shí)，滿足上式，因此，。

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)15．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，連，取的中點(diǎn)，連，∵為的中點(diǎn)，∴∥，∴或其補(bǔ)角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)16．解析：∵，∴，∵點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，由向量的加法法則及拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)且做出圖形如右圖，其中為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴�！�10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科會(huì)考不合格的概率均為，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率為�！�12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，

 ，，……………3分

（Ⅱ）∵，∴，

∴，

又，∴數(shù)列自第2項(xiàng)起是公比為的等比數(shù)列，………………………6分

∴，………………………8分

（Ⅲ）∵，∴，………………10分

∴�！�12分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴�！�4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分

（Ⅲ）過點(diǎn)做∥，交于點(diǎn)，∵平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為�！�12分

解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，∴，，設(shè)，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分

（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分

21.解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得

所以拋物線方程為�！�2分

由題意知橢圓的焦點(diǎn)為、。

設(shè)橢圓的方程為，

∵過點(diǎn)，∴，解得，，，

∴橢圓的方程為�！�5分

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，的方程為：，

以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為。

設(shè)，則

∵  

………………………8分

∴

………………………10分

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)，直線的方程為�！�12分

22．(12分)解析：（Ⅰ）∵是偶函數(shù)，∴，

又∵∴，，………………………2分

由得，，

∵時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴時(shí)，函數(shù)


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