溫州中學2008學年第二學期期中考試

高二數(shù)學試卷（理科）

一選擇：（每題4分，共40分）

1、下面使用類比推理正確的是  （       ）.

A.“若,則”類推出“若,則”

B.“若”類推出“”

C.“若” 類推出“  （c≠0）”

D.“” 類推出“”

2. 已知：則以下結(jié)論正確的是（     ）

A   ,      B   ,     C     ,     D 

3．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，如果當n=k（k∈N*）時，該命題成立，那么可推得當n=k+1時命題也成立．現(xiàn)在已知當n=5時，該命題不成立，那么可推得 (     ) 

（A）當n=6時該命題不成立；       （B）當n=6時該命題成立

（C）當n=4時該命題不成立         （D）當n=4時該命題成立

4.已知，則的最小值為(       )

A  2       B  3        C   4          D      

5. 已知直線y=kx是曲線y=的切線，則實數(shù)k的值為(     )

A                   B                C                    D   

6.在直角坐標系中，設(shè)A（-2，3），B（3，-2），沿軸把直角坐標平面折成大小為的二面角后，這時，則的大小為(      )

A          B          C             D  

7.已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是(      )

A             B  ,         C  ,          D     

8. 平面上有n個圓，其中每兩個圓之間都相交于兩個點，每三個圓都無公共點，它們將平面分成f（n）塊區(qū)域，則f（n）的表達式是（     ）

A                            B     

C              D      

9.正四面體P-ABC中,點M在面PBC內(nèi),且點M到點P的距離等于點M到底面ABC的距離則動點M在面PBC的軌跡是(      )

A    拋物線的一部分                B   橢圓的一部分        

 C    雙曲線的一部分                D    圓的一部分

10.已知都是定義在R上的函數(shù), g(x)≠0,,

，，在有窮數(shù)列{}( n=1,2,…,10）中，任意取前k項相加，則前k項和大于的概率是(       )

A               B             C               D      

二填空題：（每題4分，共16分）

11.設(shè)的最大值是                    

12、單個蜂巢可以近似地看作一個正六邊形圖形，如圖所示，這是一組蜂巢的圖形，設(shè)第（1）圖中有1個蜂巢，第（2）圖中有7個蜂巢，第（3）圖中有19個蜂巢，按此規(guī)律，第(5)圖中有個         蜂巢,

13..已知函數(shù)在x=1時有極值10，則a=      

14.在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, .則異面直線AO與BC的夾角的余弦值為            

中，，

（1）求點到平面的距離；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

16、（10分）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，且

（1）求證：

（2）證明：   

（3）求b的取值范圍。

17、（12分）已知分別是三角形ABC的角A、B、C所對邊，且成等差數(shù)列，公差；

（1）求證：不可能成等差數(shù)列.

（2）求證：

18、（12分）已知函數(shù),

數(shù)列{}滿足:

證明: （I）;　　　

（II）.

            。

15．（10分）在長方體中，，

（1）求點到平面的距離；（5分）

（2）求直線與平面所成角的正弦值．（5分）

解：（1）如圖建立空間直角坐標系：

D(0,0,0) , B(2,4,0),  E(0,4,2)，D₁(0,0,3)，

, DD₁(0,0,3)

設(shè)面的法向量為，

由，

令，則。 

。

（2）, B(2,4,0), 

設(shè) 直線與平面所成的角為

。

所以直線與平面所成角的正弦值為 。         （用幾何法求解也可以）

16.（10分）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，且

（1）求證：（3分）

（2）證明：    （3分）

（3）求b的取值范圍。   （4分）

解答：（1）

，

整理得

（2）由

考慮到，所以

（3）由（1）、（2）知且

令

由0，得，

當時，；

當時，

故是的極大值點，也是最大值點，又在【0，1】上連續(xù)

所以，即，故

17. （12分）已知分別是三角形ABC的角A、B、C所對邊，且成等差數(shù)列，公差；

（1）求證：不可能成等差數(shù)列.（6分）

（2）求證：（6分）

解答：（1）成等差數(shù)列，則有，從而

因為成等差數(shù)列，；所以a-b=b-c=-d，

故從而ab=bc   即a=c與已知相矛盾。

所以不可能成等差數(shù)列.

（2）

因為B為三角形內(nèi)角，所以

18.（12分）已知函數(shù),

數(shù)列{}滿足:

證明:  （I）   ;　　　           （6分）

（II）  .                （6分）

證明: （I）．先用數(shù)學歸納法證明，ｎ＝1,2,3,…

          (i).當n=1時,由已知顯然結(jié)論成立.

          (ii).假設(shè)當n=k時結(jié)論成立,即.因為0<x<1時

,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在[0,1]上連續(xù),

從而.故n=k+1時,結(jié)論成立.

由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)n都成立.

（II）．設(shè)函數(shù)，．由（I）知，當時，，

　　　從而

所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù). 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0,

  所以當時，g (x)>0成立.于是．

　　　　　　　故．