1．方程的根與函數(shù)的零點

（1）函數(shù)零點

概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。

二次函數(shù)的零點：

１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；

２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；

３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。

零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步驟：

對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足?的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：

（1）確定區(qū)間，，驗證?，給定精度；

（2）求區(qū)間，的中點；

（3）計算：

①若=，則就是函數(shù)的零點；

②若?<，則令=（此時零點）；

③若?<，則令=（此時零點）；

（4）判斷是否達到精度；

即若，則得到零點值（或）；否則重復(fù)步驟2～4。

注：函數(shù)零點的性質(zhì)

從“數(shù)”的角度看：即是使的實數(shù)；

從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；

若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點；

若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點。

注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件?表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。

3．二次函數(shù)的基本性質(zhì)

（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax²+bx+c；y=a(x－x₁)(x－x₂)；y=a(x－x₀)²+n。

（2）當(dāng)a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x₀= (p+q)。

若－<p，則f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－<x₀，則f(－)=m，f(q)=M；

若x₀≤－<q，則f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，則f(p)=M，f(q)=m。

（3）二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的實根分布及條件。

①方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a?f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的兩根都大于r

③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根

④二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根f(p)?f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內(nèi)成立。

【課前預(yù)習(xí)】

1. 關(guān)于的方程有正根，則實數(shù)的取值范圍是                 。

2.【07山東文11】．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，

則所在的區(qū)間是（    ）

A．              B．              C．              D．

3. 已知定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，并且在上為增函數(shù)。若，則的解集是                   ；

4. 函數(shù)的對稱軸方程為，則常數(shù)=             。

題型1：方程的根與函數(shù)零點

例1．判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點。

  （1）

  （2）

  （3）

例2．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（   ）

A．(0，1)      B．(1，2)        C．(2，3)       D．(3，+∞)

（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。

題型2：零點存在性定理

例3．（2004廣東21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。

（1）當(dāng)為何值時，；

（2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得

試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時，方程在內(nèi)有兩個實根。

例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（   ）

A．若，不存在實數(shù)使得；

B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得；

C．若，有可能存在實數(shù)使得；  

D．若，有可能不存在實數(shù)使得；

題型3：二分法的概念

例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）

A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點得到；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點；

C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無零點；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解；

例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是（   ）

A．0.05        B．0.005         C．0.0005      D．0.00005

題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）。

例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確到）。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

例9．（1）已知是方程的兩個根，且，

求的取值范圍。

（2）已知關(guān)于的方程的一根分布在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，另一根分布在區(qū)間（1，3）內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍。

例10．已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.

（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

（2）如果，，求的取值范圍.

【課外作業(yè)】

1．若函數(shù)有負值，則實數(shù)的取值范圍是             （   ）

A.    B.    C.    D.

2．若都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是                                                     （   ）

A.   B.   C.   D.

3．設(shè)函數(shù)，若，則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為                                              （   ）

A．1          B.2          C.3          D.4

4．是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是                                       （   ）

A.2          B.3          C.4          D.5

5．函數(shù)在[0，2]上                               （   ）

A.有三個零點    B.有兩個零點   C.有一個零點    D.沒有零點

五．思維總結(jié)

1．函數(shù)零點的求法：

①（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

2．解決二次函數(shù)的零點分布問題要善于結(jié)合圖像，從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。